Sumas parciales normalizadas de variables al azar normales son densas en $\mathbb{R}$

Question

Me encontré con un interesante resultado que aparece como un ejercicio de algunas notas de la conferencia que estoy leyendo. Supongamos $X_{1},X_{2},...$ son IID $N\left(0,1\right)$ RVs todos definido en $\left(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}\right)$ y deje $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ . A continuación, con una probabilidad de 1 (w.r.t a $\mathbb{P}$ ) la secuencia de $\frac{S_{n}\left(\omega\right)}{\sqrt{n}}$ es denso en $\mathbb{R}$ . Es decir, con una probabilidad de 1 para todos los $x\in\mathbb{R}$ hay una larga $\frac{S_{n_{k}}}{\sqrt{n_{k}}}$ la convergencia de pointwise a $x$.

Tengo curiosidad acerca de qué tipo de prueba de enfoque sería apropiado aquí. Si algunos cuidados a la referencia o escribir una prueba de que sería genial.

Answer 1

De hecho, ni siquiera tenemos que asumir que los$X_i$ normalmente se distribuyen. Solo asuma que tienen media cero y varianza$1$.

Solucione algunos$a<b \in \Bbb R$. Al invertir el Lema de Fatou, vemos que$$P\big( \frac{S_n}{\sqrt{n}} \in [a,b] \;\;\text{ for infinitely many $ n$ } \big) \geq \limsup_{n \to \infty} P\big(\frac{S_n}{\sqrt{n}} \in [a,b] \big) = P\big(Z \in [a,b] \big)>0$$ where $ Z$ is normally distributed, and the equality after the limsup follows by the central limit theorem. On the other hand, note that the event $ E_ {a, b}: = \ big \ {\ frac {S_n} {\ sqrt { n}} \ en [a, b] \; \; \ text {para infinitos muchos$n$} \ big \}$ is an exchangeable event and therefore the Hewitt-Savege 0-1 Law together with the above computation implies that $ P (E_ {a, b}) = 1 $.

Por último, tenga en cuenta que$$P\big( \{ S_n/\sqrt{n}: n\in \Bbb N\} \text{ is dense in } \Bbb R \big) = P \bigg( \bigcap_{\substack{a<b \\ a,b \in \Bbb Q}} E_{a,b} \bigg) = 1$ $