Encuentre el polinomio característico de$\,A^2$ si el polinomio característico de$\,A$ es$\,t^4 -t$

Question

$A \in M_{4\times4}(\mathbb{R})$. El polinomio característico de A es$P_A(t)=t^4-t$.

Tengo que encontrar el polinomio característico de$A^2$ y$A^4$

Entonces sé que debido al teorema de Cayley-Hamilton que$P_A(A) = A^4-A=0$, por lo tanto,$A^4 = A$, por lo tanto,$P_{A^4}(t)=P_A(t)=t^4-t$.

Pero, ¿qué hago con$A^2$?

También sé que los valores propios de A son$0,1$ ... ¿cómo ayuda esto?

Gracias a todos.

Answer 1

Para $\mathbb{C}$:

Los autovalores de a $A$ $0,1,e,e^2$ donde $e$ es una raíz primitiva fuera $1$: $e^3=1$. Por lo tanto los autovalores de a $A^2$ y también de $A^4$ $0,1,e^2, e^4=e$ es decir, el mismo. Así que la característica polinomios de $A^2$ $A^4$ también se $t^4-t$.

Para $\mathbb{R}$:

Característica polinomios de $A^2$ $A^4$ no cambie, es decir,$t^4-t$.

Addendum: Teorema de la Gantmacher del libro: Si $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ son los autovalores de a $A$ $g(x)$ un polinomio, entonces $g(\lambda_1),\ldots,g(\lambda_n)$ son los autovalores de a $g(A)$ (con las mismas multiplicidades).