Automorfismos de grupo de los elementos no nulos de un campo

Question

Me gustaría saber qué es $Hom_{Groups}(K^*,K^*)$ al menos en el caso $K$ es un campo completo no arquimediano (valorado). ¿Es esto $\mathbb{Z}$ ?

Answer 1

Mucho más grande que $\mathbb Z$ al menos si (como es habitual) se entiende por " $K^*$ "el conjunto de elementos no nulos de $K$ . (Su título sugiere algo diferente).

Diré algo sobre los automorfismos de un campo local de característica mixta, es decir, una extensión finita de $\mathbb Q_p$ . La cuestión es ciertamente mucho más difícil si se acepta discontinuo automorfismos, y no los consideraré. Lo que hay que hacer es descomponer $K^*$ como suma directa de grupos más simples, y se encuentra que $$ K^*\cong \mathbb Z\oplus W\oplus(\mathbb Z_p)^n\>, $$ donde $W$ es el grupo (finito) de raíces de la unidad de $K$ y $n=[K\colon\mathbb Q_p]$ . Esta descomposición no es única. Ahora para ver todos los automorfismos de este grupo hay que mirar no sólo los automorfismos de los sumandos sino también los homomorfismos de un sumando a otro.