Por qué es el continuo determinante de Jacobian en la prueba del teorema de la función inversa.

Question

Puede alguien explicarme por qué la primera oración en la prueba es válida.

Answer 1

Determinante es continuo en los operadores $R^n$ (es un polinomio de coeficientes con respecto a los canónicos, dicen, base) y la matriz de jacobian es también continua por Asunción. Composición conserva continuidad.

Answer 2

Como alternativa a la respuesta de Oskar Linka, también podemos ver la continuidad mirando el Leibniz-fórmula de determinantes.

Primero de todo, tenga en cuenta que $f \in C'$. (Supongo que $C'$ denota el conjunto de todos los mapas cuyas derivadas parciales existen en todas las variables y son continuas, es decir, todos los mapas $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ existen y son continuas.) Ahora, usando la fórmula de Leibniz, tenemos $$J_f(b)=\sum_{\pi \in S_n} \text{sgn}(\pi)\prod_{i=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_{\pi(i)}}(b)$$ para todos los $b \in S$. A partir de esta fórmula, se puede leer directamente fuera de la continuidad de la $J_f$$S$. Se sigue de la continuidad de los mapas de $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$.

Ahora a la parte acerca de la apertura de la pelota: si un mapa de $h$ es continua en algún punto de $a$$h(a) \neq 0$, (por ejemplo,$h=J_f$), siempre hay y abra la bola de $B_{\varepsilon}(a)$ tal que $h(x) \neq 0$ todos los $x \in B_{\varepsilon}(a)$. Prueba: Supongamos que esto no es cierto. A continuación, para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ hay un $x_n \in B_{\frac{1}{n}}(a)$ tal que $h(x_n)=0$. Ahora, la secuencia de $(x_n)$ tiende a $a$$n \to \infty$. Sin embargo, $h(x_n)=0$ todos los $x_n$. Por lo tanto,$h(x_n) \to 0$$n \to \infty$. Pero esto es una contradicción: desde $h$ es continua en a $a$, debemos tener $h(x_n) \to h(a) \neq 0$ lugar.

Nota: $B_{\varepsilon}(a)$ denota el abra $\varepsilon$-bola alrededor de $a$ donde se supone que $\varepsilon >0$.