Cualquier representación irreducible de un $p$-grupo sobre un campo de característica $p$ es trivial.

Question

En general, sabemos que si $G$ es un grupo finito y $K$ es un campo, entonces $K[G]$ (el grupo de álgebra) es semisimple siempre $\operatorname{char}(K)$ no divide al orden de $G$. Sin embargo, este resultado no se mantiene cuando tenemos un $p$-grupo y un campo finito de característica $p$.

Cómo voy a ir yo de mostrar que una representación irreducible de una $p$grupo $G$ sobre un campo $K$ de los característicos $p$ debe ser la representación trivial?

Parece que este sería, tal vez, conllevan algún tipo de aplicación de Maschke del Teorema para obtener una contradicción. Sé que $|G| = \sum_i \operatorname{dim}(V_i)^2$ donde $V_i$ es una representación irreducible. Pero parece que eso no me ayuda mucho aquí.

Alguna idea de cómo abordar esta pregunta?

Answer 1

Sugerencia. Deje $G$ ley sobre la representación (menos $0$) y el uso de una órbita a contar el argumento de encontrar una copia de la representación trivial.

Deje $V$ ser un trivial irreductible de la representación. Tenga en cuenta que $V$ debe ser finito dimensional desde $G$ es finito. Escribir $V^\circ = V\setminus\{0\}$ y deje $G$ actuar en $V^\circ$. Por órbita estabilizador, $\left| \mathcal{O}_x \right|$ divide $|G|$ cualquier $x\in V^\circ$, por lo que todos los $G$de las órbitas tienen una fuente primaria de energía (más precisamente, el poder de $p$) de tamaño. Ya que estos necesitan suma a $\left|V^\circ\right|=p^n-1$, hay al menos una órbita de tamaño $1$. Esta órbita es una $G$-invariante de una dimensión del subespacio, y por lo tanto es un isomorfo copia de la representación trivial. Pero esto contradice que $V$ es irreductible.