¿Por qué las personas dividen la notación derivada al configurar$u$ y$v$ para la integración por partes?

Question

Si tomamos por ejemplo, el problema de$$\int e^x \sin x \quad dx$ $

Utilizamos la técnica de integración por partes:

PS

Ajuste

$ \begin{array}{l l} u = \sin x & \frac{dv}{\color{red}{dx}} = e^x\\ \frac{du}{\color{red}{dx}} = \cos x & v = e^x\\ \end {array} $

Sin embargo, he visto a personas dividir la notación derivada al llevar el denominador$$\int uv' = uv - \int vu'$ a la RHS:

$ \begin{array}{l l} u = \sin x & dv = e^x \; \color{red}{dx}\\ du = \cos x \; \color{red}{dx} & v = e^x\\ \end {array} $

No entiendo por qué la gente hace esto. Con la integración por sustitución, esta manipulación de la notación derivada está justificada. Pero aquí no sirve para nada.

Answer 1

Cuando escribe$\int uv' = uv - \int vu'$, la notación es incompleta. Suponiendo que la variable de integración es$x$, debería haber escrito:$$ \int uv'\;dx = uv - \int vu' \;dx$ $ En ese caso, necesitamos tener un$dx$ en cada símbolo integral. Si$u=f(x)$ y$v=g(x)$, entonces$du = f'(x)\;dx$ y$dv=g'(x)\;dx$, entonces la fórmula IBP se escribe:$$ \int u\;dv = uv - \int v\;du$ $$$ \int f(x)g'(x)\;dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\;dx$ $ Piense en el "$dx$ "como parte de la notación .

Answer 2

La forma intuitiva de pensar acerca de la integración es todo acerca de la suma de los diferenciales, y la notación que se enseña a todo el mundo hoy en día se traduce esta intuición en la notación, aunque no es de rigor.

La razón de esto es que cuando se aprende la integración por primera vez, por lo general se aprende de Riemann de integración porque controla la mayor parte de la función de un principiante en matemáticas debe integrar, además de que permite justificar el estudio de la suma y de la serie, derivados y en una manera que es fácil de usar (hasta cierto punto). Yo creo que una persona que desea conseguir con el rigor que necesita ir a través de esta fase en un punto y, a continuación, vaya al rigor en cursos más avanzados, sus pasos de bebé.

Ahora la razón por la que digo esto es porque es verdad que uno debe considerar la $u$ $v'$ en lugar de $u$ $dv$ al aplicar la fórmula de integración por partes, si nos atenemos a los teoremas que decir que esas cosas de trabajo. Pero si uno piensa en $dv$ como un diferencial, lo que estás haciendo, considerando la integración por partes de la fórmula es que son la conmutación de las funciones de las diferencias y la altura de la función en un complicado manera (el truco es sólo la expansión de (uv)'), por lo tanto tiene más sentido decir que "a esta altura de la función se convierte en este diferencial, y este diferencial se convierte esta altura' en el sentido intuitivo, es decir, no estás pensando acerca de lo que sucede analíticamente (derivados se integran y las funciones están integradas), pero más de lo que sucede geométricamente. Al final sólo se trata de una elección de la notación, y por razones pedagógicas nos atenemos a los diferenciales.

En realidad, se puede definir un diferencial de esta manera : dado un diferencial de $dx$ y una función derivable $f'(x)$, tiene sentido definir el nuevo diferencial $$ dy(x,dx) = dy = f'(x)dx. $$ El diferencial de $dy$ se convierte en una función de $x$$dx$, y uno fácilmente se ve que esta definición nos da $dy/dx = f'(x)$, por lo que si uno se aferra a los diferenciales de que hay una forma de hacer algunos teoremas con ellos, pero al final no tengo fe que vale mucho, es más por la intuición de la parte que creo que vale la pena introducir en ellos, sobre todo porque para la integración, probando cosas se convierte en un dolor.

Espero que ayude,