límite de la secuencia definida por la suma

Question

Dejemos que $x_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}, n\ge1$ . Demostrar que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n (x_n-n-\frac{1}{4})=\frac{5}{24}$ .

Lo que he hecho: es fácil demostrar que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{n}=1$ y $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (x_n-n)=\frac{1}{4}$

Answer 1

Expandir la raíz cuadrada en una serie de taylor a tres términos, para obtener $1+k/2n^2 -k^2/8 n^4+ k^3/16 n^6,$ entonces suma.

La suma de los $1$ s le da $n$ . La suma de $k/n^2$ da $n(n+1)/4n^2,$ la suma de $k^2/n^4$ le da $(1+n)(2+n)/48 n^3,$ y el siguiente término es $O(1/n^2).$

Answer 2

Mi respuesta es errónea, pero me gustaría saber por qué.

$$n(x_n-n-\frac{1}{4})=n \sum (\sqrt{(1+\frac{k}{n^2})}-(1+\frac{1}{4n}))$$

$$=n \sum \frac{(1+\frac{k}{n^2})-(1+\frac{1}{4n} )^2}{ \sqrt{(1+\frac{k}{n^2})}+1+\frac{1}{4n} }$$

$$=n \sum \frac{ \frac{k}{n^2} - \frac{1}{16n^2} -\frac{1}{2n}}{ \sqrt{(1+\frac{k}{n^2})}+1+\frac{1}{4n} } $$

Desde $$ \sqrt{(1+\frac{1}{n^2})}+1+\frac{1}{4n} \leq \sqrt{(1+\frac{k}{n^2})}+1+\frac{1}{4n} \leq \sqrt{(1+\frac{n}{n^2})}+1+\frac{1}{4n} $$ , y tienen el mismo límite que $n$ tiende a infinito, aplicaremos el teorema del sándwich a la suma más adelante.

Ahora,

$$n \sum (\frac{k}{n^2} - \frac{1}{16n^2} -\frac{1}{2n} )$$

$$=n (\frac{n(n+1)}{2n^2} - \frac{1}{16n} -\frac{1}{2} )$$

$$=(\frac{n+1}{2} - \frac{1}{16} -\frac{n}{2} )$$

$$=(\frac{1}{2} - \frac{1}{16})=7/16$$

Así que incluso después de dividir dos, debido al denominador, es $7/32$ ...

Answer 3

Usando eso $\frac{k}{n^2} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$ para todos $1\leq k\leq n$ se puede utilizar la expansión de Taylor de $\sqrt{1+x}$ , $$\sqrt{1+x} = 1+\frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)$$ cuando $x\to 0$ : $$\begin{align} x_n &= \sum_{k=1}^n \sqrt{1+\frac{k}{n^2}} = \sum_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{2n^2}-\frac{k^2}{8n^4}+o\left(\frac{k^2}{n^4}\right)\right) \\ &= n+ \frac{1}{2n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{8n^4}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + o\left(\frac{1}{n}\right)\\ &= n+ \frac{1}{4} + \frac{1}{4n} - \frac{1}{8n^4}\cdot\frac{2n^3}{6} + o\left(\frac{1}{n}\right)\\ &= n+ \frac{1}{4} + \frac{6}{24n} - \frac{1}{24n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\\ &= n+ \frac{1}{4} + \frac{5}{24n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \end{align}$$ dándole $n(x_n - n - \frac{1}{4}) = \frac{5}{24} + o(1)$ .

Nota: Ahora bien, aunque lo anterior es un método válido y legítimo, habría que detenerse a considerar al menos por qué la manipulación y la suma de los $o(\cdot)$ 's es realmente aceptable. (Específicamente: aunque está implícito, lo que cada $o(\cdot)$ 's se toma con respecto a? $n\to\infty$ o $\frac{k}{n}\to0$ cada uno para un $k$ ? ¿Y por qué sigue estando bien?)