¿Cómo resolver la ecuación integral de Fredholm de segundo tipo? ( $f(x) - \lambda\int\limits_0^1 9xtf(t) dt = ax^2 - 4x^2$ )

Question

Tengo una ecuación : $\ f(x) - \lambda\int\limits_0^1 9xtf(t) dt = ax^2 - 4x^2\ $ en $\ L_2[0,1]\ $ espacio.

Y quiero entender cómo resolverlo, no sólo obtener una respuesta.

Answer 1

Para esta ecuación en particular, es sencillo. Hay que diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a $x$ : $$ f^\prime(x) = 2 (a-4) x + \lambda \int_0^1 9 t f(t) \mathrm{d} t $$ Como la integral es independiente de $x$ la solución es una cuadrática $f(x) = (a-4) x^2 + b x + c$ . Sustituyendo en la ecuación original obtenemos un sistema lineal de ecuaciones para $b$ y $c$ : $$ (a-4) x^2 + b x + c - \lambda x \int_0^1 9 t f(t) \mathrm{d} t = (a-4) x^2 $$ Desde $\int_0^1 9 f(t) \mathrm{d} t = \frac{9}{4} a+ 3b+ \frac{9}{2} c - 9$ , tenemos el sistema: $$ c = 0 \qquad b (1-3 \lambda) - \frac{9}{4} \lambda \left( 2 c + a -4\right) = 0 $$ Por lo tanto, obtenemos: $$ f(x) = (a-4) x \left( x -\frac{9}{4} \frac{\lambda}{3 \lambda - 1} \right) $$

Answer 2

Si el Kernel (lo que está junto a la función desconocida en la integral) es polinómico, entonces es fácil de resolver. En este caso, multiplica tu ecuación por x e integrar entre 0 y 1, luego obtener el valor de ∫tf(t)dt y reemplazar en la ecuación original para obtener la solución.