Deje $(M,g)$ ser un equipo compacto liso orientable de riemann colector, y deje $f: M \to \mathbb R$ ser una función de Morse. Todas las funciones aquí se supone que ser suave. Estaremos considerando las curvas integrales y el flujo de $\varphi$ el vector gradiente de campo de $f$. Que es \begin{align} & \varphi : \mathbb R \times M \to M, \\ & (t,x) \mapsto \varphi^t(x), \end{align} donde $\varphi^t(x)$ es la solución de la ODE $\dot{u} = -\nabla(f(u))$ tiempo $t$, con valor inicial $x$. Se sabe que $\varphi^t(x)$ converge a puntos críticos de $f$$t \to \pm \infty$. Dado $p,q$ puntos críticos de $f$, podemos establecer \begin{align} \mathcal M(p,q) := \{u: \mathbb R \to M : \dot{u} = -\nabla(f(u)), \lim_{t \to -\infty}u(t) = p, \lim_{t \to +\infty}u(t) = q \}. \end{align} A continuación, vamos a asumir que $f$ es de Morse-Smale, por lo que el $\mathcal M(p,q)$ es un buen colector (que esencialmente corresponde a la intersección transversal de una estable colector con un inestable del colector). Consideramos en $\mathcal M(p,q)$ $C^\infty_{loc}$- convergencia, es decir, la convergencia uniforme en cada compacta de las derivadas de todos los órdenes. Hay un $\mathbb R$-acción de $\mathcal M(p,q)$, definido por la traducción: \begin{equation} (\tau \cdot u)(s) = \varphi^\tau(u(s)) = u(s+\tau). \end{equation} El cociente $\widehat{\mathcal M}(p,q) = \mathcal M(p,q) / \mathbb R$ es el espacio del gradiente de líneas de flujo de$p$$q$.
Me gustaría una respuesta o una referencia para la siguiente pregunta:
¿Cómo se puede demostrar que la acción es correcta y libre, por lo que el cociente $\widehat{\mathcal M}(p,q) = \mathcal M(p,q) / \mathbb R$ es de hecho, un suave colector?
Esta pregunta está posiblemente relacionado con este.
