Grado de homología y cohomología

Question

Que $f : S^n \rightarrow S^n$ ser un mapa continuo. Se puede definir el grado de $f$ como el entero $k$ tal que $f_ : H_n(S^n) \rightarrow H_n(S^n)$ es la multiplicación por $k$ $H_n(S^n) \cong \mathbb Z$. Sin embargo, también tiene sentido así que definir el grado como el entero $k'$ tal que $f^$ es la multiplicación por $k'$ $H^n(S^n)$. ¿Deben aceptar estas dos enteros?

Answer 1

Sí.

Desde el teorema universal del coeficiente de cohomología, tenemos un isomorfismo natural $H^n(S^n)\to\hom(H_n(S^n),\mathbb Z)$. Ahora escribe qué naturalidad significa un mapa $f:S^n\to S^n$ y concluir lo que usted quiere.