Suma de la integral de Lebesgue (funciones absolutamente integrables)

Question

Se trata de análisis de Tao II Prop. 19.3.3. (b)

Que $\Omega \subseteq \mathbb R^n$ medibles y $f,g: \Omega \rightarrow \mathbb R$ funciones absolutamente integrables. Entonces es absolutamente integrable $f+g$ y $ \int\Omega f + g = \int\Omega f + g \int_\Omega $$

¿Cómo puedo probar?

Mi primera idea era $f+g = f^+ + g^+ - (f^- + g^-)$. Pero luego me sale un problema con '$-$'-signo.

Answer 1

Copiado de Folland, Proposición 2.21. Que $h = f+g$, luego sabemos que h$ ^ + - h ^ - = f^++g^+-(f^-+g^-) $$ y por reagrupación $$ h ^ + + f ^- + g ^-= h ^- + f ^ ++ g ^ +. $$ Ya que todas las funciones son positivas, $$ \int h ^ + + \int f ^- + \int g ^-= \int h ^- + \int f ^ ++ \int g ^ + $$ y por lo tanto $$ \int h ^ + - \int h ^-= \int f ^ ++ \int g ^ +-\int f ^--\int g ^ - = \int f - \int g $$