Toda las funciones $f$ tal que $f(f(z))=f(z)$

Question

Encontrar todos totalidad de las funciones que $\forall z\in \mathbb{C}$ : $f(f(z))=f(z)$

Me da la siguiente respuesta, pero yo no entiendo completamente, va:

Deje $I$ ser la imagen de $f$

$\forall a\in I \exists z_{a}\in \mathbb{C}: f(z_{a})=a$

$f(a)=f(f(z_{a})=f(z_{a})=a$ por lo tanto $ \forall a\in I f(a)=a$

Si $f(a)$ es constante por lo que hemos terminado, vamos a suponer que no lo es.

La imagen de un no constante de la función es denso en $\mathbb{C}$ $I$ es denso en $\mathbb{C}$, por lo que cada punto en $\mathbb{C}$ es una acumulación de punto, con lo $I$ es un conjunto con la acumulación de puntos y , por tanto, $\forall z\in \mathbb{C} ; f(z)=z$

¿Por qué llegamos a la conclusión de que $f(z)=z$

Answer 1

Se demostró que el % de igualdad $f(a)=a$es cierto cada $a\in I$ y que $I$ es denso. Por lo tanto, si $z\in\mathbb C$, tomar una secuencia de $(zn){n\in\mathbb N}$ tal que $(\forall n\in\mathbb{N}):zn\in I$ y que $\lim{n\in\mathbb N}zn=z$ y entonces\begin{align*}f(z)&=f\left(\lim{n\in\mathbb N}zn\right)\&=\lim{n\in\mathbb N}f(zn)\&=\lim{n\in\mathbb N}z_n\&=z.\end{align*}

Answer 2

Si dos funciones enteras de acuerdo en un conjunto con un punto de acumulación, convienen en todas $\mathbb C$. Desde $I$ se ha demostrado que tiene puntos de acumulación; $f(z) = z$ en todas $I$; y $f(z)$ y $z$ son dos funciones enteras, debemos tener $f(z) = z$ % todos $z \in \mathbb C$.