¿Método mecánico para dibujar una espiral logarítmica?

Question

Estoy en la necesidad de dibujar (más bien usar una fresadora de madera para tallar una ranura) una espiral logarítmica en un trozo de madera. Así que, tengo una fresadora que está unida a un palo, dibujo un círculo girando el palo alrededor de un centro.. pero, necesito aumentar el radio (la distancia de la fresadora al centro) de forma logarítmica para obtener la tan esquiva espiral logarítmica.

Ahora, el problema aquí es que necesito encontrar una manera no-supercomplicada de aumentar el radio, ¿conoces algún método para lograrlo?

Answer 1

De Wolfram MathWorld:

La espiral logarítmica puede construirse a partir de rayos igualmente espaciados mediante comenzando en un punto a lo largo de un rayo, y dibujando la perpendicular a un rayo vecino.

Modifier He buscado construcciones con regla y compás y he encontrado un viejo artículo de Popular Science presentando las matemáticas detrás del router. Sin embargo, no muestra ninguna espiral.

Answer 2

Esto puede ayudar: dos propiedades de la espiral logarítmica:

1. Cada rayo que pasa por el origen interseca la espiral en el mismo ángulo.
2. La longitud del arco desde cualquier punto de la espiral logarítmica hasta el polo (centro) es finita, aunque se necesitan infinitas rotaciones para llegar al polo.

Fuente - e: la historia de un número

Para un punto determinado de la curva y en un radio, dibuje el radio en el que se marcará el siguiente punto. A continuación, dibuje una línea con el ángulo de espiral particular para esa curva desde el primer punto hasta el siguiente radio. La intersección será el siguiente punto. Si los radios están lo suficientemente juntos, los segmentos lineales se aproximarán a la espiral.

Probablemente haya una forma de calcular el ángulo que hay que utilizar para separaciones finitas (en lugar de "lo más pequeñas posibles") de los radios. Creo que esta es la ecuación crítica a encontrar.

Answer 3

Así que esto no es una espiral logarítmica exacta pero capta la idea

La ecuación para las espirales de tipo exponencial es

$$r = ae^{b\theta}$$

Lo que significa que si consideramos los ángulos $\theta, \theta + k$ puis

$$\frac{r(\theta + k)}{r(\theta)} = e^{bk}$$

Lo que significa que la relación de los radios es una constante para una diferencia fija entre el ángulo.

Así que, como ejemplo, digamos que tienes tu radio en 1 cm y dibujas un punto. Ahora bien, si usted inclina su router por un ligero ángulo (digamos 1/3 de un grado o algo más que es pequeño) el radio apropiado sería sólo un múltiplo de 1 cm por una constante fija. Puedes moverte así trazando puntos y simplemente extendiendo la longitud de la fresadora multiplicando su longitud actual por esa constante fija, y luego midiéndola con una regla.

Observa que para cualquier triplete de 3 puntos existe un círculo que pasa a través de ellos, por lo que puedes utilizar arcos circulares entre conjuntos de 3 puntos para conectarlos (o si los puntos están lo suficientemente cerca, simplemente conecta cada par con una simple línea hecha con una regla)