¿Cómo puedo demostrar que la serie $ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin \left( {nx} \right)}} {n}} $ converge uniformemente en el intervalo $ [\varepsilon ,2\pi - \varepsilon ]\,\,\varepsilon > 0 $ En general, me resulta difícil demostrar que alguna secuencia converge uniformemente, por ejemplo este caso, no puedo utilizar la prueba de Weierstrass aquí, ¿hay algunas técnicas para demostrar este tipo de convergencia?
Respuesta
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Desde $\sum_{k=1}^n\sin kx=\frac{\sin(nx/2)\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}$ está acotado en $[\epsilon, 2\pi-\epsilon]$ puede utilizar Prueba de Dirichlet para la convergencia uniforme .
