Que $A \rightarrow ( B \rightarrow C ) \rightarrow ( ( A \rightarrow B ) \rightarrow ( A \rightarrow C ) )$ en el cálculo sequent

Question

Necesito demostrar el siguiente teorema: $A\to (B\to C) \to ((A\to B) \to (A\to C))$

utilizando el secuente método de cálculo.

El uso de las reglas:

$$ G, A \Rightarrow B,D \over G \Rightarrow A \to B , D $$

y

$$ G \Rightarrow A,D \ \ \ \ G,B \Rightarrow D \over A\to B \Rightarrow D $$

y el Axioma de Identidad :
$$ \over G,A \Rightarrow A,D $$

• $\to$ es una corriente implicación signo,
• $\Rightarrow$ es el secuencial implicación signo,
• $G,D$ son finitos (y posiblemente vacía) de conjuntos de proposiciones, y
• $G\Rightarrow D$ es decir, que la conjunción de las proposiciones en las $G$, implica la separación de los en $D$.

Yo realmente no puede ir a ninguna parte hasta ahora, gracias por su ayuda de antemano.

Answer 1

Sequent pruebas debe tienden a escribir ellos mismos, sin tener que pensar acerca de ellos (que es el punto de hacer uso de ellas!). El lema es: empezar desde donde usted quiere terminar y trabajar hacia atrás (o más bien hacia arriba: en otras palabras, escribir el secuente quieres demostrar que en la parte inferior, y construir el árbol de la parte inferior a la parte superior ...).

Desea establecer el secuente

$$\Rightarrow A\to (B\to C) \to ((A\to B) \to (A\to C))$$

Dada su reglamento, que sólo puede venir de

$$A\to (B\to C) \Rightarrow (A\to B) \to (A\to C)$$

que a su vez seguramente debe venir de

$$A\to (B\to C), (A\to B) \Rightarrow A\to C$$

que a su vez debe venir de

$$A\to (B\to C), (A\to B), A \Rightarrow C$$

Entonces, ¿cómo se consigue eso? Vamos a tener que utilizar su regla final. Lidiar con la mayoría de los complejos wff en primer lugar, y que debe venir de

$$(B\to C), (A \to B), A \Rightarrow C\quad and\quad A\to B, A \Rightarrow A, C$$

Usted puede ver cómo conseguir la mano derecha de uno de esos (que es lo que se está llamando a una identidad)! Entonces, ¿qué acerca de la izquierda sequent? Que vienen, por ejemplo,

$$C, (A \to B), A \Rightarrow C \quad and\quad (A \to B), A \Rightarrow B, C$$

Y usted puede ver inmediatamente cómo conseguir que la parte izquierda de uno de esos. Y la mano derecha de la sequent obviamente proviene de

$$B, A \Rightarrow B, C \quad and \quad A \Rightarrow A, B, C$$

Gire a todos los que de otra manera hasta obtener un top-to-bottom prueba de "identidades" (mejor "axiomas") a través de las reglas para el movimiento de $\to$ alrededor.

La moraleja es que usted no tiene que jugar para la construcción de este tipo de prueba. Para repetir: sólo escribir su prueba "de abajo hacia arriba" hacer la cosa que es evidente en cada etapa. Que, como he dicho, es el deleite de sequent pruebas!

Answer 2

Lo que hemos llamado la "regla" es usualmente llamado "axioma" o "axioma esquema de" y "identidades" se suelen llamar "reglas".

1. $A \Rightarrow A, B, C$ (axioma) y $A, B \Rightarrow B, C$ (axioma) implica $A, A\rightarrow B \Rightarrow B, C$ por la segunda regla.

2. 1 y $A, A\rightarrow B, C \Rightarrow C$ (axioma) implica $A, A\rightarrow B, B\rightarrow C \Rightarrow C$ por la segunda regla.

3. $A \rightarrow B,A \Rightarrow A, C$ (axioma) y 2 implica $A, A\rightarrow B, A\rightarrow(B\rightarrow C) \Rightarrow C$ por la segunda regla.

4. 3 implica $A\rightarrow B, A \rightarrow(B\rightarrow C) \Rightarrow A\rightarrow C$ por la primera regla.

5. 4 implica $A \rightarrow(B\rightarrow C) \Rightarrow (A\rightarrow B )\rightarrow(A\rightarrow C)$ por la primera regla.

6. 5 implica $\Rightarrow (A \rightarrow(B\rightarrow C)) \rightarrow ((A\rightarrow B )\rightarrow(A\rightarrow C))$ por la primera regla.

Answer 3

Un comentario "largo".

Puede utilizar este ejemplo para "formatear" el axioma del cálculo sequent y reglas:

$${ \quad \over \Gamma, A \implies A, \Delta } \, \text{(Axiom)}$$

$${ \Gamma \implies A \quad B \implies \Delta \over \Gamma \implies A \rightarrow B, \Delta } \, \text{(Rule)}$$