Demostrar que la siguiente serie es convergente: $\sum\limits_{i=1}^\infty \left({n^2+1\over n^2+n+1}\right)^{n^2}$

Question

¿Puede alguien ayudarme a demostrar que esta serie es convergente? $$ \sum_{i=1}^\infty \left({n^2+1\over n^2+n+1}\right)^{n^2} $$

Supongo que debo demostrar que el límite de la secuencia es un límite "e", es decir, algo así: $$ \left( 1\pm{1 \over a} \right)^a $$ ¿Pero cómo? He llegado a este estado por ahora y es donde estoy atascado:

$$ \left( {n^2+n+1-n \over {n^2+n+1}} \right)^{n^2} = \left( 1+{n \over {n^2+n+1}} \right)^{n^2} $$

Answer 1

Tenga en cuenta que $${\left( \dfrac{n^2+n+1}{n^2+1}\right)^{n^2}}={\left(1+ \dfrac{n}{n^2+1}\right)^{\frac{n^2+1}{n}\cdot\frac{n^3}{n^2+1}}}\geqslant 2^{\frac{n}{2}},$$ porque $2<\left(1+ \dfrac{n}{n^2+1}\right)^{\frac{n^2+1}{n}}<3$ y $\frac{n^3}{n^2+1}\geqslant \frac{n}{2}$ para $n\geqslant 1.$ Por lo tanto, $$\left( \dfrac{n^2+1}{n^2+n+1}\right)^{n^2}\leqslant {\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$$ y la serie $$\sum_{n=1}^\infty \left({n^2+1\over n^2+n+1}\right)^{n^2}$$ converge por prueba de comparación.

Answer 2

El $n$ El término es $\left(1-\dfrac{n}{n^2+n+1}\right)^{n^2}<\left(\left(1-\dfrac{1}{2n}\right)^n\right)^n$ . Yo sugeriría una prueba de comparación de límites con $1/e^{n/2}$ .

Answer 3

$$ \left(1-\dfrac{n}{n^2+n+1}\right)^{n^2}\lt\exp\left(-\dfrac{n}{n^2+n+1}\cdot n^2\right)\lt\mathrm e^{-n+1} $$