¿Cuál es la dimensión Krull de$C(X)$ para$X$ infinito, compacto y Hausdorff?

Question

¿Cuál es la dimensión de Krull del anillo de funciones continuas de valor real en un espacio infinito compacto de Hausdorff?

Si la dimensión de Krull no es finita, diremos que es infinita y no intentaremos definirla como cardinal u ordinal.

Por supuesto, la dimensión de Krull de$C(X)$ depende a priori de$X$, pero estaría muy contento si pudiera calcularse incluso en los casos más particulares.

Answer 1

La dimensión de Krull de $C(X)$ es infinita para cualquier infinita compacto Hausdorff espacio de $X$. Por mi respuesta aquí, es suficiente para mostrar que existe una función continua $f:X\to\mathbb{R}$ que no es localmente constante. Para mostrar esto, vamos a $A=\{x_n\}$ ser un countably infinito discreto subconjunto de $X$. Para cada una de las $n$, por Urysohn del lexema existe una función continua $f_n:X\to [0,1/2^n]$ tal que $f_n(x_m)=0$$m\geq n$$f_n(x_m)=1/2^n$$m<n$. La suma de $\sum f_n$ luego converge uniformemente en $X$ a una función continua $f:X\to[0,2]$, e $f$ es inyectiva cuando se limita a $A$. Ahora vamos a $y\in X$ ser cualquier punto de acumulación de a $A$. Desde $f$ es inyectiva en a $A$ y en cada barrio de $y$ contiene una infinidad de puntos de $A$, $f$ no es constante en cualquier barrio de $y$.