Cuál es el área máxima de un cuadrilátero con lados de longitud a,b,c,d (en secuencia).

Question

Me dan las longitudes de 4 lados de un cuadrilátero convexo como $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

También me dan la secuencia de los lados (es decir, es $abcd$ no $abdc$ o $acbd$ o $acdb$ ... etc).

Sé que Fórmula_de_Bretschneider

$$ K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-a b c d \cdot \cos ^{2}\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)} $$ (donde $s=\frac{a+b+c+d}2$ es el semiperímetro) puede dar el área si se conoce la suma de cualquiera de los pares de ángulos opuestos.

Pero no conozco los ángulos de ninguno de los vértices (interiores o exteriores).

Puedo generar dos ecuaciones de cuadriláteros generando líneas diagonales $e$ , $f$ y usando la regla del coseno del triángulo...

$$ a^2 + b^2 - 2.a.b.\cos(\alpha) (= e^2) = c^2 + d^2 - 2.c.d.\cos(\gamma) $$

$$ b^2 + c^2 - 2.b.c.\cos(\beta) (= f^2) = a^2 + d^2 - 2.a.d.\cos(\delta) $$

Estas dos ecuaciones tienen cuatro incógnitas (es decir, los ángulos interiores: $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ ). $\delta$ está dada por:

$$ \delta = 360 - \alpha-\beta-\gamma $$

así que esto deja tres incógnitas pero sólo dos ecuaciones.

¿A dónde voy a partir de aquí?

RESPUESTA

He aceptado la respuesta de Ted Shifrin, si los ángulos opuestos suman a $\pi$ entonces podemos utilizar una forma simplificada de la fórmula de Bretschneider para obtener el área (máxima) K.

$$ K^2 = [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] $$

Para encontrar el área máxima no necesitamos saber cuáles son los ángulos reales.

NOTAS

Tampoco creo que importe que el cuadrilátero de área máxima sea cíclico aunque Ted indica que se puede demostrar que un cuadrilátero con ángulos opuestos que sumen $\pi$ debe ser cíclico.

También deduzco que cualquier ángulo de un cuadrilátero cíclico se puede obtener de $$ cos(\alpha) = (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)/(2(a.b +c.d)) $$ donde $\alpha$ es el ángulo interior entre los lados a y b. Lo cual es bonito. :)

Answer 1

Verás que la solución óptima es que los ángulos opuestos sumen $\pi$ y, por tanto, para que el cuadrilátero sea cíclico (inscrito en una circunferencia).

Answer 2

Observe que en la parte derecha de Fórmula de Bretschneider Todo es constante, excepto $\alpha$ y $\gamma$ . Por lo tanto, el área se maximiza si y sólo si $\cos^2 (\frac{\alpha+\gamma}{2})$ se minimiza. Pero $\alpha$ y $\gamma$ no son independientes. En la figura se puede ver que $\alpha$ y $\gamma$ se limitan aplicando la ley de los cosenos a dos de los triángulos de la imagen: $$(*) \qquad b^2 + c^2 - 2bc \cos(\gamma) = a^2 + d^2 - 2ad \cos(\alpha) $$ Así que ahora tienes un problema de optimización con restricciones, y puedes intentar resolverlo utilizando el método de Lagrange: encontrar el mínimo de $\cos^2 (\frac{\alpha+\gamma}{2})$ sujeto a la restricción $(*)$ (y restringido a $\alpha,\gamma \in [0,\pi]$ ).

Podrías simplificar aún más el problema utilizando alguna simetría. Por ejemplo: si se restringe a $\alpha,\gamma \in [0,\pi/2]$ para que $\cos(\alpha+\gamma) \ge 0$ entonces $\cos^2(\frac{\alpha+\gamma}{2})$ se minimiza si y sólo si $\cos(\frac{\alpha+\gamma}{2})$ también se minimiza.