Un contraejemplo del isomorfismo$M^{*} \otimes M \rightarrow Hom_R( M,M)$

Question

Voy sobre algunos contraejemplos para el isomorfismo $M^{*} \otimes M \rightarrow Hom_R( M,M)$. En particular, he estado tratando de entender lo que sucede si se quita las diversas restricciones sobre el módulo de condiciones en $M$ necesario garantizar la bijectivity del isomorfismo. La más fuerte de las condiciones exigidas, que yo sepa, $M$ ser finitely generado proyectiva, así que la pregunta natural en la búsqueda de un contraejemplo se formula a continuación:

Deje $R$ ser el anillo de $\mathbb{Z} / \mathbb{4Z}$ y deje $I = 2 \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}$ a ser un ideal de a $R$. Considerar el cociente $R/I$ $R$- módulo de $M$.

Ahora vamos a $\theta : Hom_R(M,R) \otimes M \rightarrow Hom_R(M,M)$ ser canónica de la asignación. Que es la asignación dada por $\theta(f\otimes m)(x)=f(x) m$ todos los $f\in Hom_R(M,R)$ $x \in M$ y todos los $m\in M$.

¿Cómo podemos mostrar que $\theta$ no es uno a uno o de a?

Answer 1

Creo que todo lo que necesitas hacer es escribir las cosas.

M tiene 2 elementos: 0 +2Z y 1 +2Z.

Hom (M, R) tiene 2 elementos: el cero y 1 +2Z → 2 +4Z.

Hom (M, M) tiene 2 elementos: cero y la identidad.

Hom (M, R) ⊗ M tiene 2 elementos: cero y (1 +2Z → 2 +4Z) ⊗ (1 +2Z).

θ ((1 +2Z → 2 +4Z) ⊗ (1 +2Z)) (1 +2Z) = (2 +4Z) (1 +2Z) = 2 +2Z = 0.