Relación entre cohomología y homotopía superior.

Question

Deje que$M$ sea un colector de 3 conectado, compacto y orientable ($H^3(M)\cong\mathbb{Z}$), y que$G$ sea un grupo de Lie simple que satisfaga a$\pi_1(G)=\pi_2(G)=0$. Dejar

• $\pi_M(G)$ denota el conjunto de clases de homotopía de mapas de$M\to G$

• $\pi_3(G)$ denota el conjunto de clases de homotopía de mapas de$\mathbb{S}^3\to G$

Supongamos que tengo un mapa$f:M\to \mathbb{S}^3$ que induce un isomorfismo en$H^3$, y para el cual$f_*:\pi_3(G)\to \pi_M(G)$ es sobreyectivo. PS

¿Es esta información suficiente para inferir que$$f_*[g]:=[g\circ f]$ es un isomorfismo?

Answer 1

Si $G$ es una simple Mentira, $\pi_3(G) = \Bbb Z$ (ver aquí). Así que la única forma de que este homomorphism podría dejar de ser un isomorfismo es si $\pi_M(G)$ eran finitos. Ahora $G$ es homotopy equivalente a un espacio de $G'$ con un solo 0 -, una celda 3 celda 4-celdas cuyo límite mapas son la constante de mapas para el punto de base, y las células de mayor dimensión; de esta manera se sigue del teorema de 4C.1 en Hatcher.

A partir de esto, celulares aproximación muestra que cada mapa de $M \to G'$ es homotópica a una situada totalmente en la copia de $S^3$; Hopf del teorema dice que estos son clasificados por su grado; y por lo tanto, incluso después de ocultarse en las copias extra de $S^4$ que todavía no están homotópica. (Esto es debido a la inclusión de $S^3 \hookrightarrow G'$ induce un isomorfismo en $H^3$.)

Así que hay infinitamente muchos homotopy clases de mapas de $M \to G$ como se desee. Su homomorphism es un isomorfismo.