El hecho importante a tener en cuenta aquí es que "sistema formal" y "sistema lógico" no son realmente términos técnicos .
Muchos libros de texto del área de la lógica matemática o de los sistemas formales contendrán algo que, a grandes rasgos, se parece más o menos a lo siguiente
Definición. Por a sistema formal nos referimos a un conjunto $A$ de "juicios" junto con un conjunto de "reglas de inferencia" que son tales y tales cosas...
Sin embargo, los autores de libros de texto no suelen hacer ningún esfuerzo especial para asegurarse de que su definición coincide (o es siquiera equivalente) a la definición de "sistema formal" del libro de texto de al lado. Esto se debe a que el propósito de la definición es no definir una clase crujiente de objetos matemáticos para los que se puedan demostrar propiedades en general. Está ahí simplemente para sugerir al lector una forma de reflexiona las semejanzas y diferencias entre los pocos sistemas formales concretos que es el real objetivo del libro de texto a presentar.
La definición está redactada en lenguaje matemático porque se supone que los lectores de libros de texto de lógica formal son lo suficientemente "maduros matemáticamente" como para que una descripción de este tipo sea más fácil de captar intuitivamente que una discusión en prosa puramente verbal sobre cuáles son las características similares entre diferentes sistemas.
Sin embargo, en general la gente no va por ahí demostrando cosas como
Teorema. Sea $\mathscr F$ ser un sistema formal. Entonces se cumple tal y tal cosa.
o
Teorema. Supongamos tal y tal cosa. Entonces existe un sistema formal $\mathscr F$ tal que esto y lo otro.
En el uso actual, "sistema formal" es sobre todo un informal concepto del tipo "lo conozco cuando lo veo". Los libros de texto que intentan definir el término suelen ser bastante más amplios que la clase de cosas que realmente interesan a los trabajadores del sector, pero eso no molesta a nadie.
(Por supuesto, algunas personas demuestran teoremas como los anteriores, especialmente si escriben sobre implementaciones informáticas de sistemas de deducción simbólica. Sin embargo, en ese caso utilizarán una definición de "sistema formal" cuidadosamente elaborada y adaptada a las capacidades del sistema del que hablan. Su noción puede ser más amplia o más restringida que la de "sistema formal". informal noción de sistemas formales que se utiliza fuera de su contexto especial, como en los manuales de lógica general).
Todo lo anterior sobre el "sistema formal" también es válido para el "sistema lógico".
Debido a la naturaleza y los procedimientos de Wikipedia, tiende a aferrarse a las "definiciones" de los libros de texto y a presentarlas como si fueran hechos más universales de lo que en realidad son (es difícil para los editores, que saben que la realidad es más fluida que eso, conseguir que se eliminen textos que, después de todo, pueden tener como fuente respetables libros de texto publicados).
Coherencia interna entre diferentes artículos de Wikipedia sobre términos tan fluidos que parecen técnicos a primera vista, pero que en realidad no lo son, es más de lo que cualquiera tiene derecho a esperar.
