Un ejemplo de matrices no similares con los mismos valores propios, rango y determinante

Question

He encontrado el siguiente ejemplo en el libro de análisis matricial de Horn y Johnson. Sea $$A=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$$ $$B=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$$ Las dos matrices tienen los mismos valores propios (polinomio característico), traza, determinante y rango. Pero como $A^2=0$ y $B^2\neq0$ podemos concluir que no son similares. ¿Puede explicarme la última afirmación, es decir, por qué implica que no pueden ser similares? Por favor, cite los teoremas o lemas pertinentes.

Answer 1

Supongamos que $A^2=0$ y $B^2 \neq 0$ pero $B=P^{-1}AP$

entonces $B^2=P^{-1}A^2P=0$ que es una contradicción.