Secuencia de elementos ultrapower y su supremum

Question

Deje $\mathbb{A} = (A, \leq^\mathbb{A})$ ser un orden lineal sin un elemento maximal y deje $\mathbb{B} = \mathbb{A}^\mathbb{N} / \mathcal{U}$ ser su ultrapower con resprect a algunos de ultrafilter. Debo probar que para cada (contables) secuencia infinita $(a_1, a_2, \ldots)$ de la ultrapower elementos (lo que significa que $a_i \in B$, no $A$) hay otro elemento $b \in B$ tal que $b \geq a_i$ todos los $i$.

Yo generalmente entender ultraproduct trucos, pero aquí estoy en una pérdida. Mi primera idea fue la de crear un conjunto de oraciones "$\forall_{x_1, x_2, \ldots, x_k} \exists_y y \geq x_1 \wedge \ldots \wedge y \geq x_k$" con el aumento de la $k$'s y el uso Łoś teorema, pero yo no veo cómo podemos "saltar" con esto en secuencias infinitas (a menos que el teorema de compacidad entra en juego de una manera que yo no puede ver). Mi segundo intento fue el de contar argumento: hay una cantidad no numerable de elementos en el conjunto de la ultrapower, pero sólo countably muchos en la secuencia de $(a_1, a_2, \ldots)$. Pero en realidad eso no prueba nada.

¿Tiene alguna sugerencia de cómo hacer frente a este problema?

Answer 1

Sea $(an \mid n \in \mathbb N)$ una secuencia contable en $\mathbb B$. Definimos $$ b \colon \mathbb N \to \mathbb A, \mapsto \max{\le_{\mathbb A}} \ {a_j(i) \mid j \le i }. $ Comprobar que éste es un elemento bien definido de $\mathbb B$ y--con Łoś $(\dagger)$--que mostrar de todos $n \in \mathbb N$ $$ an \le{\mathbb B} b. $$

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$(\dagger)$ Aquí es que necesitará $\mathcal U$ no principales. (Y puede ser útil tener en cuenta que $\mathcal U$ es no principal si y sólo si no contiene un subconjunto finito de $\mathbb N$.)