Existencia de grupo no abeliano de orden n

Question

Sé que este es un viejo quetion, pero ciertamente he sido decepcionado con las respuestas. La pregunta es: existe una caracterización de los números naturales $n$ tal que existen por lo menos uno no abelian grupo de orden $n$? En esta web http://oeis.org/A060652, los números son llamados "no-abelian órdenes" y que estado esta:

Vamos a la factorización en primos de $n$$p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$. A continuación, $n$ es en esta secuencia (de no abelian órdenes) si $e_i>2$ algunos $i$ o $p_i^k\equiv1$(mod $p_j$) para algunos $i$$j$$1\leq k\leq e_i$.

He estado tratando de averiguar una prueba y esto es lo que tengo:

Deje $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, entonces no existe un no-grupo abelian de orden $n$ si $e_i>2$ algunos $i$ o $p_i\equiv 1$(mod $p_j$) para algunos $i\neq j$.

Está claro que si estas dos condiciones no espera, entonces la única remainig opción es $p_i^2\equiv 1$(mod $p_j$) para algunos $i\neq j$. Entonces el problema se "reduce" a este:

1. Si $p_i^2\equiv 1$(mod $p_j$) para algunos $i\neq j$, entonces existe al menos uno que no abelian grupo de orden n?
2. Si 1 es verdadero, no el recíproco del teorema también se mantiene? es decir, Si existe un no-grupo abelian de orden $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, $e_i>2$ algunos $i$ o $p_i^k\equiv1$(mod $p_j$) para algunos $i$$j$$1\leq k\leq e_i$.

Gracias de antemano.

Answer 1

Para cada prime $p$ hay una nonabelian grupo de orden $p^3$, es decir, el grupo de Heisenberg $H(\mathbb{F}_p)$, o, equivalentemente, la semidirect producto

$$\mathbb{Z}_p^2 \rtimes \mathbb{Z}_p$$

donde $\mathbb{Z}_p$ es el grupo cíclico de orden $p$, y la acción es mediante la multiplicación por $\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$. Mediante la toma directa de los productos de dichos grupos cíclicos de los grupos se puede construir una nonabelian grupo de orden $n = \prod p_i^{e_i}$ siempre $e_i \ge 3$.

Ahora supongamos que cada una de las $e_i \le 2$. A continuación, cada grupo de orden $p_i^{e_i}$ es abelian, y por lo tanto cada subgrupo de Sylow de un grupo de orden $n$ es abelian, por lo que tenemos que hacer una construcción en la que participan al menos dos números primos. Si $p_i^k \equiv 1 \bmod p_j$ algunos $1 \le k \le e_i$, entonces el grupo cíclico $\mathbb{Z}_{p^j}$ actúa en $\mathbb{Z}_{p_i}^k$ como sigue: podemos identificar a $\mathbb{Z}_{p_i}^k$ con el subyacente abelian grupo de $\mathbb{F}_{p_i^k}$, cuyo grupo tiene orden de $p_i^k - 1$, que por hipótesis es divisible por $p_j$. Por lo tanto, hay una unidad de la orden de $p_j$, e $\mathbb{Z}_{p^j}$ actúa mediante la multiplicación por esta unidad. Ahora podemos tomar la semidirect producto

$$\mathbb{Z}_{p_i}^k \rtimes \mathbb{Z}_{p_j}$$

que es un nonabelian grupo de orden $p_i^k p_j$, y desde este se divide $n$, podemos volver a tomar directo de los productos con cíclico de los grupos y la construcción de una nonabelian grupo de orden $n$.

Como para el converso ver esto de matemáticas.SE la respuesta.