Funciones analíticas definidas por integrales

Question

Supone que definir una función utilizando la integral:

$$f(z)=\int_{\mathbb R} g(z,x)\ dx,$$

donde $g$ alguna función, $z$ es una variable compleja, y $x$ es una variable real. Supongamos que la integral existe $z\in U$, donde $U$ es algunas regiones abiertas. ¿Cuáles son las condiciones suficientes en $g$ para que $f$ es analítica aquí, y por qué suficiente?

He mirado en Ahlfors pero no podría encontrar nada relevante.

Answer 1

Basta que es analítica en $g$ cada $z \in U$ $x\in {\mathbb R}$ y $\int{\mathbb R} |g(z,x)|\ dx$ está limitado localmente uniformemente en subconjuntos compactos de $U$. Para entonces si $\Gamma$ es cualquier triángulo cerrado en $U$, Fubini teorema dice $\oint\Gamma f(z) \ dz = \int{\mathbb R} \oint\Gamma g(z,x)\ dz\; dx = 0$, y Teorema de Morera dice es analítica en $f$ $U$.

EDIT: creo que sería mejor también suponemos que $g(z,x)$ es mensurable.

Answer 2

Sugerencia Teorema de morera que te diga algo.