Motivación y aplicaciones para las variedades tóricas

Question

Soy un estudiante de posgrado de matemáticas de partida para el estudio de la geometría algebraica con un enfoque en las variedades tóricas (a lo largo de Cox, Poco, Schenk). De lo que he aprendido hasta ahora, puedo entender que tóricas de variedades forman una subclase de variedades algebraicas que pueden ser estudiados mediante la combinatoria poliédrica de los fans, donde las propiedades son más fáciles de calcular que en la configuración general de las variedades algebraicas.

A este punto, he tratado el tema en lugar de forma abstracta y no he visto ninguna de las aplicaciones de la teoría.

Me encantaría oír acerca de algunas de las aplicaciones de la geometría tórica, para obtener una mejor comprensión y, probablemente, un poco de motivación. Dónde y por qué tóricas de variedades aparecen?

Answer 1

Como la Papa dijo en los comentarios, tóricas variedades son muy fáciles de calcular en comparación con la variedad. Tan pronto como la definición de ecuaciones no son binomial, la mayoría de los algoritmos son extremadamente lentos. Pero si la variedad se define por binomios (es decir, es un tóricas de la variedad), entonces podemos usar un montón de combinatoria de maquinaria para calcular. Por ejemplo, para el primero de descomposición, hay un algoritmo por Eisenbud/Sturmfels que es extremadamente rápido, y funciona con el binomio ideales.

Está escrito un libro sobre algebraicas, estadísticas, cuyos algoritmos asumen mayoritariamente las ecuaciones son tóricas.

También appearantly tiene aplicaciones en la simetría en la física, ver este PDF para más detalles en la página 32 y siguientes). Básicamente, hay una dualidad porque de la polytopes, algunos desingularization, y algunos de deformación de la teoría. No conozco los detalles, sólo las palabras de moda.