La asunción de la totalidad de Prokhorov ' teorema s

Question

Originalmente, me he encontrado con esta pregunta sobre Terence Tao del blog, donde el ejercicio siguiente se presenta:

Ejercicio 23 (Implicaciones y equivalencias) Deje $X_n, X$ ser variables al azar, tomando valores en un $\sigma$espacio métrico compacto $R$.

[...]

(ii) demuestre que si $X_n$ converge en distribución a$X$, $X_n$ tiene una secuencia de apretado de las distribuciones.

(iii) Demostrar que si $X_n$ converge en probabilidad a$X$, $X_n$ converge en distribución a $X$. (Sugerencia: primero mostrar tensión, a continuación, utilizar el hecho de que en el compacto de conjuntos, funciones continuas son uniformemente continuas.)

Whats me pareció extraño fue que $R$ es simplemente asume que $\sigma$-compacto, es decir, no la totalidad de la asunción en $R$ (como el ejemplo de $\Bbb{Q}$ se muestra, hay $\sigma$-espacios compactos que no son ni localmente compacto, ni completa).

Esto hace que sea bastante duro para construir el nuevo compacto de subconjuntos (de los antiguos). De hecho, las pruebas de la declaración anterior (ii) que he encontrado (ver, por ejemplo, https://www.math.leidenuniv.nl/~vangaans/jancol1.pdf Teorema 5.2) utilice el hecho de que

$$ K := \bigcap_j \bigcup_{i=1}^{k_j} \overline{B}(a_i, 1/j) $$ es un conjunto compacto si $R$ es completa, debido a que está cerrada y totalmente acotado.

Sin embargo, Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Prokhorov%27s_theorem) también no asumir que la métrica del espacio en cuestión es completa, no el único requisito es divisibilidad.

Tenga en cuenta que necesitamos para producir compacto de subconjuntos de a $R$, porque de estanqueidad (ver más abajo), tenemos que mostrar que para $\varepsilon > 0$ hay $K \subset R$ compacto tal que $\Bbb{P}(X_n \in K) \geq 1-\varepsilon$ tiene para todos los $n$ lo suficientemente grande.

En resumen, mi pregunta es si las dos declaraciones como en el ejercicio anterior es correcta, incluso, sin más integridad supuestos en $R$. Sugerencias/pruebas/contraejemplos sería muy apreciada.

Para comodidad del lector, repito las definiciones necesarias a continuación:

Definición 10 (Modos de convergencia) Deje $R = (R,d)$ $\sigma$- compacto espacio métrico (con la Borel $\sigma$-álgebra), y deje $X_n$ ser una secuencia de variables aleatorias tomando valores en $R$. Deje $X$ ser otra variable aleatoria toma valores en $R$.

[...]

• $X_n$ converge en probabilidad a $X$ si, para cada $\epsilon > 0$, uno tiene $$\liminf_{n \rightarrow \infty} {\bf P}( d(X_n,X) \leq \epsilon ) = 1$$ [...]

• $X_n$ converge en distribución a $X$ si, para cada delimitada función continua $F: R \rightarrow {\bf R}$, uno ha $$\lim_{n \rightarrow\infty} \mathop{\bf E} F(X_n) = \mathop{\bf E} F(X)$$

• $X_n$ tiene una secuencia de apretado de las distribuciones de si, para cada $\epsilon > 0$, existe un subconjunto compacto $K$ $R$ tal que $\mathop{\bf P}( X_n \in K ) \geq 1 - \epsilon$ para todos lo suficientemente grande $n$.

Answer 1

La asunción de $\sigma$-compacidad se utiliza para garantizar que cada medida de probabilidad es apretado. En este caso, no hay necesidad de integridad o usar el hecho de que una probabilidad de medida de Borel en un espacio polaco es apretado, porque si $X=\bigcup_n K_n$ donde cada una de las $K_n$ es compacto y $K_n\subset K_{n+1}$,$\mu(K_n)\uparrow 1$.

Con el fin de demostrar (ii), fix $\varepsilon$ $n$ tal que $\mathbb P(X\in K_n)\gt 1-\varepsilon$. A continuación, considere la posibilidad de una función continua $F$ tal que $F(x)=1$ si $x\in K_n$, $F(x)=0$ si $x\in K_{n+1}^c$$0\leqslant F\leqslant 1$. Utilizando la definición de convergencia en distribución, se obtiene el resultado deseado.

Declaración (iii) también es cierto y se puede demostrar el uso de portmanteau teorema.

Answer 2

Como resulta, la demanda es de hecho verdad.

El $\sigma$-compacidad del espacio $R$ asegura que $R$ aún $\sigma$-compacto (y por lo tanto un Borel-set) en la realización de $R$. También (que resulta ser equivalente (para separables métrica espacios) se asegura de que cada finito medida en $R$ es apretado.

Estos dos (por separables métrica espacios equivalentes) de las condiciones también llamado universal de la mensurabilidad de $R$, cf. Dudley, Análisis Real y Probabilidad, el Teorema de 11.5.1 y la definición antes de que el teorema.

A continuación, un resultado de Le Cam (cf. Dudley, el Teorema de 11.5.3) implica que si $X_n \rightarrow X$ en la distribución, a continuación, la secuencia de las leyes de $\mathcal{L}(X_n)$ es uniformemente apretada, que es exactamente lo que yo quería saber.