Continuidad de una función real definida en un espacio orbital

Question

Estoy leyendo algún periódico, donde afirman lo siguiente:

Dejemos que $G$ sea un grupo compacto (Hausdorff) y sea $X$ sea un espacio Hausdorff localmente compacto. Supongamos que $G$ actúa sobre $X$ continuamente. Denotemos por $C_0(X)$ las funciones continuas en $X$ con valores complejos. Denotemos por $X/G$ el espacio orbital (también es Hausdorff), y dejemos que $\pi: X\to X/G$ sea el mapa cociente canónico.

reclamar: Dejemos que $f\in C_0(X)$ . El mapa $\pi(x)\mapsto sup_{g\in G}|f(g\cdot x)|$ es un mapa continuo $X/G\to \mathbb{R}$ .

La prueba empieza así: Sea $f\in C_0(X)$ , dejemos que $\epsilon>0$ y que $x\in X$ . Utilizar la continuidad de $f$ para encontrar, por cada $g\in G$ un vecindario abierto $W_g$ de $g\cdot x$ tal que $|f(g\cdot x)-f(y)|<\epsilon$ para todos $y\in W_g$ . Por la compacidad de $G$ existe una vecindad abierta $W$ de $x$ tal que $g\cdot W\subseteq W_g$ para todos $g\in G$ .

No veo por qué la última afirmación es cierta o por qué se deduce de la compacidad... parece que en realidad afirman que $\bigcap\limits_{g\in G}g^{-1}\cdot W_g$ está abierto (por supuesto, contiene $x$ Pero no veo por qué debería estar abierto...).

También se agradecería un enfoque alternativo a la prueba o contraejemplo para la reclamación.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Como sugirió Clément Guérin en los comentarios, un posible enfoque para demostrar esta afirmación es utilizar el Teorema de Arzelà-Ascoli en la versión generalizada para espacios de Hausdorff localmente compactos, tal como aparece en el libro de Munker para topología. Se puede encontrar también aquí: Teorema de Arzelà-Ascoli .

Con $f$ , $x$ y $\epsilon>0$ como en el caso anterior, tenemos la familia $\mathcal{F}=\{g\cdot f| g\in G\}$ de funciones continuas (donde me doy cuenta de la acción sobre $X$ como una acción de $C_0(X)$ , naturalmente). Como $G$ es compacto y $\mathcal{F}$ es sólo la órbita de $f$ bajo la acción, obtenemos que $\mathcal{F}\subseteq C_0(X)$ es un subconjunto compacto. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Arzelà-Ascoli y obtener que esta familia es equicontinua: existe una vecindad abierta $W\subseteq X$ de $x$ tal que $|f(g\cdot x)-f(g\cdot y)|<\epsilon$ para todos $g\in G$ y todos $y\in W$ .

Dado que el mapa de cociente $\pi$ está abierto, $U:=\pi(W)$ es una vecindad abierta de $\pi(x)$ en $X/G$ . Por lo anterior, se deduce que para todo $y\in W$ :

$sup_{h\in G}|f(h\cdot y)|-\epsilon\leq sup_{g\in G}|f(g\cdot x)|\leq sup_{h\in G}|f(h\cdot y)|+\epsilon$ y por lo tanto:

$sup_{\pi(y)\in U}|sup_{h\in G}|f(h\cdot y)|-sup_{g\in G}|f(g\cdot x)||<\epsilon$ según sea necesario.