Integrar $x^2 e^{-x^2/2}$

Question

¿Es posible integrar $$\int_0^{\infty} x^2 e^{-x^2/2}\, \mathrm dx$$ ¿a mano?

La respuesta es $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ Mis disculpas si esto no cumple con las normas de este blog. Lo borraré si se me pide.

Answer 1

Por el truco de Feynman tenemos:

$$I = \lim_{a\to 1}\int_0^{+\infty} -2\left(\frac{\text{d}}{\text{d}a} e^{-(a x^2)/2}\right)\ \text{d}x = \lim_{a\to 1}-2\frac{\text{d}}{\text{d}a}\int_0^{+\infty} e^{-(ax^2)/2}\ \text{d}x = \lim_{a\to 1} -2 \frac{\text{d}}{\text{d}a}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$$

Por lo tanto,

$$I = \lim_{a\to 1}-2\left(-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi }{2}} \left(\frac{1}{a}\right)^{3/2}\right)$$

Y nuestra integral es simplemente

$$I = \sqrt{\frac{\pi }{2}}$$

Que es el resultado de su integral.

Answer 2

Una pista: $u = x$ , $dv = xe^{-x^2/2}dx$

Answer 3

No hay trucos, sólo la integral Gamma: Sustituyendo $x = \sqrt{2t}$ da $$\int_0^\infty x^2 e^{-x^2/2} \,dx = \sqrt{2\vphantom{X}} \int_0^\infty t^{1/2} e^{-t} \,dt = \sqrt{2\vphantom{X}}\,\Gamma\Bigl(\frac32\Bigr) = \sqrt{\frac\pi2}.$$

Answer 4

Utilizando una distribución de probabilidad estándar:

Si conoces la distribución gaussiana $\mathcal{G}(\mu,\sigma)$ : su pdf es $f_{\mu,\sigma}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $$ f_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$ y se quiere calcular, para $X\sim\mathcal{G}(0,1)$ , $$\begin{align*} \int_{0}^\infty x^2e^{-\frac{x^2}{2}}dx &= \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty x^2f_{0,1}(x)dx = \frac{\sqrt{2\pi}}{2} \mathbb{E}[X^2] = \frac{\sqrt{2\pi}}{2}\left( \mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2\right) \\&= \frac{\sqrt{2\pi}}{2}\operatorname{Var}X = \frac{\sqrt{2\pi}}{2}\cdot 1 \\&= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{align*}$$ donde para el primer paso utilizamos el hecho de que $x\mapsto x^2e^{-\frac{x^2}{2}}$ es una función par (de ahí el factor $\frac{1}{2}$ y el cambio de límites en la integral).

Answer 5

$$\begin{align} u&=x^2/2 \\ \mathrm{d}u&=x\mathrm{d}x \\ \int x^2e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{x^2e^{-u}}{x}\,\mathrm{d}u \\&=\int \sqrt{2u}e^{-u}\,\mathrm{d}u \\&=\sqrt{2}\int u^{1/2}e^{-u}\,\mathrm{d}u \\\int_0^\infty x^2e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x&=\sqrt{2}\:\Gamma\left(\frac{1}{2}+1 \right)* \\&=\sqrt{2}\frac{\sqrt{\pi}}{2} \\&\quad \text{* where $\Gamma(z)$ is the gamma function $\int_0^\infty u^{z-1}e^u\mathrm{d}u$} \end{align}$$