Demostrar que la secuencia tiene un subsequence convergente.

Question

Demostrar que

1. El $y_n=\tan(n)$ de la secuencia tiene un subsequence convergente.
2. $x_n=2\sin^3(n)+6\cos^5(2n)$ tiene un subsequence convergente.

Para el segundo, necesito ayuda que es limitado por lo que puedo aplicar el teorema de Bolzano-Weierstrass que cada secuencia limitada tiene un subsequence convergente.

Entonces para el primero de ellos, no puedo aplicar este teorema tangente es ilimitada por lo que no sé cómo abordar este.

Answer 1

Para el primer problema: tangente puede ser ilimitada, pero tangente restringidas a ángulos entre $-\pi/4$ y $\pi/4$ está delimitado entre $-1$y $1$. ¿Así que puede usted encontrar un subsequence de $\langle 0,1,2,\dots\rangle$ tal que la medida del radián de esos enteros siempre es equivalente a ángulos entre $-\pi/4$y $\pi/4$?

Answer 2

Pista de 1: Primero crear un subsequence limitado. Elegir un límite superior (decir $10$ por ejemplo) y elija sólo $n_k \in \Bbb{N}$ tal que $\left|\tan(n_k)\right| \leq 10$. Ahora $\left{\tan(nk) \right}{k=1}^\infty$ es una sucesión acotada.

Sugerencia para 2: $$\left|x_n \right|=\left|2\sin^3(n)+6\sin^5(n)\right| \ \leq \left|2\sin^3(n)\right|+\left|6\sin^5(n)\right|$$ and $\left|\sin^m (n) \right| \leq 1 $ for all $n, m \in \Bbb{N}$.

Answer 3

Suponiendo que $\frac{p}{q}$ es una convergente de la fracción continua de $2\pi$, $\sin(p),\tan(p)$ están cerca de cero y $\cos(2p)$ está cerca de uno. Entonces se puede aplicar el teorema de Bolzano-Weierstrass.