Prueba de la desigualdad por inducción

Question

Demostrar por inducción que $(1-a)^n ≥ 1-na$, $∀ n≥1$ para la adecuada $a$.

Bien, así que no tengo problema con esto, excepto los requisitos en $a$ esta desigualdad para celebrar. Mi profesor de reclamaciones que requieren $0<a<1$ pero no puedo ver la necesidad de la $a>0$ condición. Creo que funciona para todos los $a<1$.

En la prueba que multiplica la desigualdad por $1-a$ requiere $1-a>0$ e lo $a<1$ a preservar la desigualdad. No puedo pensar en por qué ninguno de los pasos que se requeriría un ser positivo o cero. Los pensamientos?

Aquí está mi prueba: Claramente la desigualdad se cumple para $n=1$ desde $(1-a)^1=1-(1)a$

Ahora bien, si asumimos $(1-a)^k ≥ 1-ka$ $k≥1$ y considerar el caso de $k+1$:

$(1-a)^{k+1}=(1-a)(1-a)^k ≥ (1-a)(1-ka)$ por supuesto al$1-a>0$$a<1$.

Así $(1-a)$^$(k+1)$ $≥ 1-ka-a+ka^2 = 1-(k+1)a +ka^2 ≥ 1-(k+1)a$.

Por lo que se mantiene en las $k+1$ de los casos, por lo que la desigualdad se cumple para todos los $n≥1$ por inducción al $a<1$.

Answer 1

\begin{align}(1-a)^{n+1}&=(1-a)(1-a)^n\ge^{\text{true for %#%#%: (hypothesis)}}\&\ge(1-a)(1-na)=\&=1-na-a+na^2=\&=1-(n+1)a+na^2\ge^{na^2\ge 0 \text{ for any value of %#%#%}}\&\ge 1-(n+1)a\end {Alinee el}

Answer 2

Al final de esta respuesta, se prueba por la inducción que $(1+x)^n\ge1+nx$ $x\ge-1$. Por lo tanto, usted está correcto que tu afirmación es cierta para $a\lt1$; es decir, no hay necesidad para $a\gt0$.

Answer 3

Esta es la desigualdad de Bernoulli, y es un caso especial de la general: $\forall n \in \mathbb N$

$$\prod_{i=1}^{n}(1-a_i)\ge 1-\sum_{i=1}^{n} a_i$$

para $0 \le a_i < 1$ donde $\forall \ i \in \{1, 2, ..., n\}, a_i = a$

Leer más:

https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/26/convergence-of-infinite-products/

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product#Convergence_criteria

Mostrar que $\prod (1- P(A_n))=0$ fib $\sum P(A_n) = \infty$

$\prod\limits_{k = 0}^\infty {(1 - {p_k})} = 0$ si y sólo si $\sum\limits_{k = 0}^\infty {{p_k}} $ diverge

Infinita problema de producto