desigualdad $ \frac{x}{2}< 2^{\lfloor\log_2 (x) \rfloor} \leq x$

Question

Me gustaría saber cómo probar que :
$$ \dfrac{x}{2}< 2^{\lfloor\log_2 (x) \rfloor} \leq x$$
para $x \in \mathbb{N}_+ $
¿Debo proceder por inducción? ¿Por contradicción?
Gracias

Answer 1

Sabemos que, para cualquier número real $a$ , $$a - 1 < \lfloor a\rfloor \leq a.$$ Por lo tanto, para cualquier $x$ tenemos $$(\log_2 x) -1<\lfloor \log_2 x\rfloor \leq \log_2 x.$$ Aumentar $2$ a cada una de estas expresiones, obtenemos $$2^{(\log_2 x) - 1}<2^{\lfloor \log_2 x\rfloor}\leq 2^{\log_2 x}\text{, or}$$ $$ \frac x 2 < 2^{\lfloor \log_2 x\rfloor}\leq x.$$

Answer 2

Sospecho que lo que tu profesor espera que hagas es ampliar ese término medio:

$ 2^{log(x)} = x ^{log(2)}$

Entonces sólo tienes que demostrar que

$ \frac{x}{2} < x^{log(2)} \leq x $

La forma más fácil de hacerlo es demostrar que es cierto para un caso base (como x = 1), y luego demostrar que, para $ x \geq 1 $ la desigualdad para x implica la desigualdad para x +1 (es decir, se procede por inducción).

En realidad, puede ser más fácil demostrar que es cierto para x = 1 y x = 2, y luego proceder por inducción asumiendo $ x \geq 2 $ .

Answer 3

Aquí por $\log$ nos referimos al logaritmo a la base $2$ .

Si se nos permite utilizar las propiedades básicas de los logaritmos, el problema es sencillo. Sea $a=\lfloor \log x\rfloor$ . Entonces $\log x=a+e$ , donde $0\le e\lt 1$ .

La desigualdad de la derecha es evidente. Para la desigualdad de la izquierda, hay que tener en cuenta que $$x=2^{\log x}=2^a2^e.$$ Pero $2^e\lt 2$ . De ello se desprende que $2^a\gt \frac{1}{2}x$ . Si no queremos usar la palabra "obvio" para la desigualdad de la derecha, usemos $1\le 2^e\lt 2$ .