Se lanzan dos puntos en un cuadrado de 1 cm de lado. La línea que termina en estos dos puntos es el diámetro de un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el círculo se encuentre en el cuadrado?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
JiminyCricket
Puntos
143
La respuesta es sorprendentemente sencilla. $\pi/6$ de acuerdo con los resultados numéricos de Henry.
Como ha señalado Mark, el planteamiento sugerido por Arthur conduce a un complicado conjunto de restricciones que delimitan la zona en la que puede situarse el segundo punto. Un enfoque diferente consiste en parametrizar los pares de puntos admisibles utilizando los círculos en los que se encuentran e integrarlos sobre el jacobiano de sus coordenadas cartesianas. Así,
$$ \begin{align} x_1&=x+r\cos\phi\;,\\ y_1&=y+r\sin\phi\;,\\ x_2&=x-r\cos\phi\;,\\ y_2&=y-r\sin\phi\;, \end{align} $$
donde $r$ es el radio del círculo, $x,y$ son las coordenadas de su centro y $\phi$ es la orientación del diámetro. La matriz jacobiana es
$$ \frac{\partial(x_1,y_1,x_2,y_2)}{\partial(x,y,r,\phi)}=\pmatrix{1&0&1&0\\0&1&0&1\\\cos\phi&\sin\phi&-\cos\phi&-\sin\phi\\-r\sin\phi&r\cos\phi&r\sin\phi&-r\cos\phi}\;. $$
En $2\times2$ en la mitad inferior son las matrices jacobianas de coordenadas polares con signos opuestos de $\phi$ ; sus determinantes son $r$ y el determinante global es $4r$ .
Consideremos ahora el octante $0\le y\le x\le1$ del cuadrado $[-1,1]^2$ . En esta región, el radio está limitado por $1-x$ . La medida de todos los pares de puntos del cuadrado es $4^2=16$ por lo que la probabilidad deseada es
$$ \begin{align} p &= \frac8{16}\int_0^1\mathrm dx\int_0^x\mathrm dy\int_0^{1-x}\mathrm dr\,4r\int_0^{2\pi}\mathrm d\phi \\ &= 2\pi\int_0^1\mathrm dxx(1-x)^2 \\ &= \frac\pi6\;. \end{align} $$
CodingBytes
Puntos
102
Sea $[0,1]^2$ sea el cuadrado dado. Por razones de simetría basta con analizar el caso en que el punto medio del círculo se encuentra en el triángulo $\{(x,y)\ |\ 0\leq y\le x\leq{1\over2}\}$ . Por lo tanto, tenemos a priori $$y_1+y_2\leq x_1+x_2\leq 1\ .$$ La única restricción adicional es que $$\Bigl({x_2-x_1\over2}\Bigr)^2+\Bigl({y_2-y_1\over2}\Bigr)^2\leq \Bigl({y_2+y_1\over2}\Bigr)^2\ ,$$ o $$|x_2-x_1|\leq 2\sqrt{\mathstrut y_1 y_2}\ .$$ Para $y_1$ , $y_2$ el conjunto de admisibles $x_1$ , $x_2$ es el rectángulo $$R:=\{(x_1,x_2)\ |\ y_1+y_2\leq x_1+x_2\leq 1,\ |x_2-x_1|\leq 2\sqrt{\mathstrut y_1 y_2}\}$$ de superficie $2\sqrt{\mathstrut y_1 y_2}\bigl(1-(y_1+y_2)\bigr)$ ; véase la siguiente figura. Aquí hemos utilizado que $2\sqrt{\mathstrut y_1 y_2}\leq y_1+y_2$ .
De ello se deduce que la probabilidad que buscamos es $$16\int_0^1\int_0^{1-y_1}\sqrt{\mathstrut y_1 y_2}\bigl(1-(y_1+y_2)\bigr)\ dy_2\ dy_1={\pi\over6}\ .$$
