¿Cómo se pueden mostrar los eigenfaces (vectores propios del PCA en los datos de las imágenes faciales) como imágenes?

Question

Estoy tratando de aclarar algunos conceptos para el reconocimiento de caras. Según tengo entendido, dado un conjunto de imágenes de entrenamiento con cada imagen de 225 x 255 píxeles, tendremos una matriz de imágenes de entrenamiento, n x (255 x 255).

Usando el PCA, estaríamos reduciendo las altas dimensiones de 255 x 255 a algo más pequeño, digamos 200.

Sin embargo, he visto casos en los que los blogs muestran las caras propias. Supongo que los eigenfaces tendrían una dimensión de 200. ¿Cómo es posible que la imagen resultante de los eigenfaces tenga las mismas dimensiones que la imagen original? Aunque parece que las eignfaces están muy borrosas.

Answer 1

El PCA realiza una reducción dimensional expresando $D$ vectores dimensionales en un $M$ subespacio dimensional, con $M<D.$ El propio vector puede escribirse como una combinación lineal de $M$ vectores propios, donde el vector propio es un vector unitario que vive en la $D$ espacio dimensional.

Consideremos, por ejemplo, un espacio bidimensional que reducimos a una dimensión mediante el ACP. Encontramos que el vector propio principal es el vector unitario que apunta igualmente en el positivo $\hat{x}$ y $\hat{y}$ dirección, es decir $$ \hat{v} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{x} + \hat{y}). $$ En este caso estoy usando el sombrero ( $\hat{x}$ ) para indicar que es un vector unitario. Puedes pensar en esto como una línea unidimensional que atraviesa un plano bidimensional. En nuestro espacio reducido, podemos expresar cualquier punto $w$ en el espacio bidimensional como un valor unidimensional (o escalar) proyectándolo sobre el vector propio, es decir, calculando $w \cdot \hat{v}.$ Así que el punto $(3,2)$ se convierte en $5/\sqrt{2},$ etc. Pero el vector propio $\hat{v}$ se sigue expresando en las dos dimensiones originales.

En general, expresamos un $D$ vector dimensional, $x,$ como una reducción $M$ vector dimensional $a$ donde cada componente $a_i$ de $a$ está dada por, $$ a_i = \sum_j x_j V_{i j} $$ donde $V_{i j}$ es el $j$ de los componentes de la $i$ y el vector propio $i = 1, \dots, M$ y $j = 1, \dots, D.$ Para que eso funcione, el $i$ El vector propio debe tener $D$ para tomar un producto interno con $x$ .

En tu caso, puedes expresar un vector "reducido" de 200 componentes tomando la imagen original, un vector de 65025 componentes, y tomando su producto interior con cada una de las 200 imágenes, cada una de las cuales tiene 65025 componentes. Cada resultado del producto interior es un componente de su vector de 200 dimensiones. Esperamos que cada vector propio tenga el mismo número de dimensiones que el espacio original. Es decir, esperamos que $M$ vectores propios, cada uno de los cuales es $D$ -dimensional.

Answer 2

Estoy bastante seguro de que las caras propias tendrían una dimensión igual a la del número de componentes reducidos (de PCA). Sin embargo, en este caso están escaladas a 255x255, por lo que aparecen borrosas.