Tema: la Estabilidad de Autónomo No lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias
Me pregunto si tener una hiperbólica punto crítico que no asintóticamente linealmente estable (ELA) en la linealización de un sistema implica que el punto crítico no es asintóticamente estable (AS) en la totalidad del sistema no lineal...
Sé que, en general, no la ELA no implica que no se COMO, pero parece que la Hartman-Grobman teorema debe hacer es cierto hiperbólico puntos críticos.
Voy a poner un ejemplo, sólo para hacer un poco más claro.
Dicen que tenemos el sistema:
\begin{align} \dot{x} &= -6y + 2xy - 8\\ \dot{y} &= y^2 - x^2 \end{align}
Con los puntos críticos $(-1, -1)$$(4, 4)$. La Jacobiana es:
$$ DF(x, y) = \begin{bmatrix} 2y & 2x - 6\\ -2x & 2y \end{bmatrix} $$
Ahora, para $(4, 4)$ la linealización es:
$$ DF(4, 4) = \begin{bmatrix} 8 & 2\\ -8 & 8 \end{bmatrix} $$
Que tiene traza $\tau = 16$ y determinante $\delta = 80$. Los valores propios son $8 \pm 4i$.
Por lo tanto, $(4, 4)$ es hiperbólica en la linealización y describe una espiral de origen. Por la Hartman-Grobman teorema, podemos concluir que el punto crítico también "se parece a" una espiral de origen en la totalidad del sistema no lineal. Mi pregunta es, en general, es seguro concluir que el punto crítico es que no asintóticamente estable, es decir, no en el caso de que las soluciones en algunos de vecindad tienden al punto crítico a medida que el tiempo tiende a infinito?
En este caso, el trazado de la cosa con Mathematica revela que está correctamente inestable en $(4, 4)$ (perdón por la falta de ejes).
