la definición de los números irracionales y la prueba de Cauchy teorema de

Question

En la página 281 de La Historia del Cálculo y su Desarrollo Conceptual ¿Por qué la necesidad de la condición de aquí no requiere de una definición previa del sistema de los números reales, especialmente en la definición de los números irracionales, pero la prueba de la la suficiencia de la condición no ?

Answer 1

Considere la posibilidad de cualquier espacio métrico $(X,d)$. Deje $\epsilon >0. $Si $(x_n)\subset X$ converge a $x\in X$ $\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n>N, d(x_n,x)<\frac{\epsilon}{2}.$ Ahora vamos a $m,n\in\mathbb{N}$ ser tal que $m,n>N$. La invocación de desigualdad de triángulo que demostrar que $d(x_n,x_m)<\epsilon$, de donde $(x_n)$ es de Cauchy.

Este resultado es válido para cualquier espacio métrico. Sin embargo, la convergencia de una secuencia de Cauchy a un punto en el espacio métrico depende del espacio. De hecho métrica espacios en los que todas las secuencias de Cauchy son convergentes son llamados completa de métricas de espacios. Ahora el espacio $\mathbb{Q}$ no es completa. Pero $\mathbb{R}$ es completa. Tenga en cuenta que $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\bigcup(\mathbb{R-Q})$ donde $\mathbb{R-Q}$ es el conjunto de irrationals definido en consecuencia. Creo que esto es lo que el autor quiso decir.

Answer 2

Tenga en cuenta que los conceptos de límite para funciones y secuencias pueden ser definidas sobre el sistema de los números racionales también. Si usted ve las definiciones de estos conceptos que sólo se basan en la densidad de la propiedad de los números en cuestión. Ambos sistemas racionales y reales han densidad de la propiedad, ambos tienen relaciones de orden y de ambos campos. No hay ninguna diferencia entre ellos, aparte de la integridad de la propiedad.

Ella es la completitud de los números reales, que asegura que muchos interesantes existen límites. Por lo tanto se basan en definiciones podemos probar que cada secuencia (en cualquier sistema, ya sea racional o real) que tiene límite (en el mismo sistema) satisface también la de Cauchy del criterio. Pero para demostrar lo contrario (que está relacionado con la existencia de límites) debemos utilizar la completitud de los números reales. En el sistema de los números racionales tenemos secuencias de Cauchy que no tienen límite.

Para convencerse a sí mismo, usted debe demostrar que la secuencia de $\{x_{n}\}$ definido por $$x_{1}=1,x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\right)$$ es una secuencia de números racionales que satisface el criterio de Cauchy, pero no hay ningún número racional a la que esta secuencia converge. Es esta inadecuación de los racionales (que por CIERTO es muy técnico en la naturaleza en comparación con los otros inadecuación que Dedekind observado) que condujo a Cantor a desarrollar la teoría de los números reales como secuencias de Cauchy de racionales.

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Ahora que tenemos el sonido de las teorías de los números reales a nuestra disposición nadie realmente le molesta a reflexionar sobre la necesidad de un verdadero/números irracionales en matemáticas. Pero a lo largo de la historia de los matemáticos sentía que había algo profundamente falta en los números racionales, que no podía ser suministrados por el álgebra (que es mediante la adición de números algebraicos para el campo de los racionales). La mayoría de los matemáticos tomó el acceso directo y por supuesta la existencia de los números reales con la propiedad deseada para arreglar lo que faltaba en los racionales. Todo esto se basa en la intuición y sólo en el siglo xix llegó riguroso de las teorías de los números reales que ponerlos sobre una base sólida.

Y parece que la historia se repite. El análisis moderno de los libros de texto y plan de estudios a su vez toma los números reales por sentado (en el enfoque axiomático de los números reales) y los estudiantes casi nunca son conscientes de la necesidad o la importancia de los números reales. Y esas teorías de los números reales que son considerados simplemente como algunos teóricos de la materia a la par con los axiomas de Peano.

Answer 3

Es muy fácil demostrar que si $x_n \to x$ $(x_n)_n$ es una secuencia de Cauchy directamente.

Para demostrar que si $(x_n)_n$ es de Cauchy, entonces $x_n \to x$ algunos $x$ es un poco más difícil. Si el $x_n$'s fueron racional y fuimos en busca de un racional $x$, entonces esto sería imposible. De ello se desprende que necesitamos para trabajar con números irracionales así.