$C_c(\mathbb{R})$ es denso en $L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})$ ... ¿verdad?

Question

La intersección $L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})$ es (supuestamente) un espacio de Banach con la norma $\|f\| = \|f\|_1 + \|f\|_2$. También es cierto que $C_c(\mathbb{R})$ es densa, con respecto a esta norma?

Creo que es razonablemente claro que las funciones simples son densos... Es suficiente para demostrar que se puede aproximar cualquier no negativo $f \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})$. Pero, para que tal $f$, no es difícil producir una monótona creciente de la secuencia de funciones simples $s_n$ convergentes pointwise a $f$ desde abajo y, a continuación, compruebe $\|f-s_n\|_1 \to 0$$\|f-s_n\|_2 \to 0$.

OK, así que esto significa que sólo tenemos que demostrar que las funciones simples son approximable por la forma compacta las funciones admitidas en la norma $\| \cdot \|$. Por lo tanto, es suficiente para tomar una apreciable conjunto de $E$ finitos medir y mostrar su función característica $\chi_E$ puede ser aproximada. Así que, supongo, mi pregunta se reduce a:

Pregunta: Si $E \subset \mathbb{R}$ es cuantificable con finito medida de Lebesgue, y $\epsilon > 0$, hay siempre un $f \in C_c(\mathbb{R})$ tal que $\| f - \chi_E\|_1 < \epsilon$$\|f - \chi_E\|_2 < \epsilon$?

Answer 1

Esto es válido para cualquier espacio topológico $X$ que es localmente compacto y Hausdorff. Esto se aplica en particular a $\mathbb R$.

Dado que la medida de Lebesgue $\ell$ es regular (y desde $\ell(E)<+\infty$), existe un conjunto compacto $K\subset\mathbb R$ y un conjunto abierto $U\subset\mathbb R$ tal que $K\subset E\subset U$ y \begin{equation*} \ell\left(U\setminus K\right)<\frac\varepsilon{2}. \end{ecuación*} Elija $f\in C_c(\mathbb R)$ según Urysohn del lema, de tal manera que $\chi_K\le f\le\chi_U$. Entonces, por la desigualdad de Minkowski, para cualquier $p\in[1,2]$, \begin{align*} \|\chi_{E}-f\|_p &\le\|f-\chi_{K}\|_p+\|\chi_{E}-\chi_{K}\|_p\\ &\le\left(\int\chi_{U\setminus K}(x)\,\mathrm dx\right)^{1/p}+\left(\int\chi_{E\setminus K}(x)\,\mathrm dx\right)^{1/p}\\ &\le2\left(\frac\varepsilon{2}\right)^{1/p}\\ &\le\varepsilon. \end{align*}