Una función continua $f$ tal que $\frac{\partial f}{\partial x}$ no existe, pero se $ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ existe

Question

¿Existe una función continua $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ tal que $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ no existe sino $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ existe.

Yo creo que sí. Pero soy incapaz de encontrar un ejemplo de este tipo de función. Alguien me puede ayudar ?

Answer 1

Deje $f$ sólo dependen de la $x$, siendo continua pero no diferenciable. A continuación,$f_y=0$, por lo tanto $f_{xy}=0$. (Suponiendo que esto significa en primer lugar la diferenciación con respecto a $y$)

Answer 2

La función de $f: R^2 \to R$ donde $f(x, y) = |x|+xy$ es un ejemplo

Ver que para la siguiente función $$f_{yx} = 1$$ for every $(x, y) \ \epsilon \ R^2$

Pero $f_x$ no existe en el siguiente conjunto de puntos de $\{ (0, y) \ \epsilon \ R^2 \ | \ y \ \epsilon \ R \} $

Por lo tanto para el conjunto de $\{ (0, y) \ \epsilon \ R^2 \ | \ y \ \epsilon \ R \} \subset R^2$, $f_{yx}$ existe, sino $f_x$ no existe

Answer 3

Ver esta página de la Wikipedia sobre la función de Weierstrass $W_{\alpha}(x)$. Es continua en todas partes, pero diferenciable en ningún lugar. Así que vamos a $$f(x,y)=W_{\alpha}(x)$$ A continuación, $\frac{\partial f}{\partial x}$ no existe en ninguna parte, y desde $\frac{\partial f}{\partial y}=0$ la mezcla de derivados $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ existe en todas partes (y también es igual a 0).