No estoy seguro de si usted está tomando el casco convexo de los puntos o usted está siguiendo una combinatoria de la triangulación de la superficie poliédrica, comping de una triangulación. Voy a asumir que usted tiene una superficie poliédrica con la topología de la esfera, con vértices en los puntos de muestra $V$ se han calculado (si no, tal vez simplemente tomar el casco convexo de $V$ y eliminar todos los puntos de $V$ que no están en el límite del casco convexo, es decir, los que terminan en el interior). Supongamos que es totalmente triangular, es decir, cada cara es un triángulo (de lo contrario puede subtriangulate cada cara triangular por la adición de un conjunto de las diagonales de la cara con la no intersección interior de los segmentos). De este modo se obtiene una triangulación geométrica $(V,E,F)$ donde $V$ vértices, $E$ es el conjunto de aristas e $F$ es el conjunto de caras triangulares. Además, cada triángulo está orientado de manera que el contador de las agujas del reloj en cada triángulo es positiva cuando se observa desde fuera del poliedro.
Hay varias medidas que usted puede utilizar para medir la desviación de la poliedro de un poliedro inscrito en una esfera. Por ejemplo, usted puede utilizar el discretos de conformación (discrete Wilmore) de energía. Deje $e \, \in\, E \, $ ser una arista del poliedro y deje $\Delta_1$ $\Delta_2 \, \in \, F$ ser las dos caras triangulares que comparten $e$ como una arista común. Tome el círculo de $c_1$ circunscrito alrededor de triángulo $\Delta_1$ $c_2$ circunscrito alrededor de $\Delta_2$. Tanto en $c_1$ $c_2$ son dos geométrica de la ronda de los círculos en el espacio tridimensional. Están orientados de manera positiva, de acuerdo a la orientación de los triángulos. A continuación, vamos a $\beta(e)$ exteriores de ángulo de intersección entre la circumcircles $c_1$ $c_2$ (este es el ángulo entre los vectores tangente a la circumcircles $c_1$ $c_2$ en cualquiera de los dos puntos de intersección de $c_1 \cap c_2$). Para cada vértice $v \in V$ deje $E(v)$ ser el conjunto de todas las aristas del poliedro que comparten $v$ como un vértice común (como las costillas de un paraguas). A continuación, definir los locales discretos de conformación (discrete Willmore) energía $W(v)$ $v$
$$W(v) = \sum_{e \in E(v)} \, \beta(e) - 2\pi.$$
Después de eso, definir el discretos de conformación (discrete Willmore) la energía de los poliedros como $$W = - \pi |V| + \sum_{v \in V}\, W(v) .$$
$|V|$ es el número de vértices de $V$.
La cosa buena acerca de esta construcción son los siguientes teoremas
Teorema. Para cada vértice $v$ de los poliedros local discreto de conformación de la energía $W(v)$ es no negativo, es decir,
$$W(v) \geq 0$$ y
$W(v) = 0$ si y sólo si los vértices de todas las caras del poliedro que comparten $v$ como un vértice común yacen en la superficie de una esfera común y una forma convexa de paraguas-como de configuración.
De ello se desprende del último teorema de que
Teorema. El total discretos de conformación de la energía $W$ es no negativo
$$W \geq 0$$ y
$W = 0$ si al final sólo si el poliedro es convexo y todos sus vértices están en la superficie de una esfera común.
Ver para más detalles de los artículos Discretos de Conformación de la Energía y Discretos Willmore de Flujo.
También se pueden combinar los discretos de Conformación de la energía (local y global) con una versión discreta de la media de la curvatura de cada borde. Para $e \in E$ deje $l(e)$ ser la longitud de la arista $e$ y deje $\theta(e)$ ser el ángulo diedro entre los triángulos adyacentes $\Delta_1$$\Delta_2$, medido en el interior del poliedro. Esto es, básicamente, el ángulo entre dos vectores unitarios, apuntando hacia afuera, cada ortogonal a uno de los $\Delta_1$ $\Delta_2$ respectivamente. A continuación, el local discreto significa curvatura en $e$ es $$H(e) = l(e)\theta(e).$$ You can have a discrete mean curvature at $v$ $$M(v) = \sum_{e \in E(v)} \, M(e)$$ as well as the total mean curvature $$M=\sum_{e \in E} \, M(e).$$
