Desafiante Integral de $1+\sin^2x+\cdots+\sin^{16}x$

Question

Pregunta

Evaluar la integral

$$ \int_0^{\frac{\pi}{3}} (1+\sin^2x+\cdots+\sin^{16}x) \ dx$$

Intento

Yo simplificar el GP de a $$\frac{1-\sin^{18}x }{ \cos^2x } $$

pero en este punto, la integración parece muy difícil...

Esta pregunta apareció en el Sur de Australia el Año 12 de Examen, por lo que los métodos deben ser primaria.

Answer 1

Este tipo de preguntas se pueden resolver fácilmente mediante la identidad $\sin(x)=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i}$ y el de Newton binomio identidad. Sin embargo, los cálculos serán un poco feo en la OP caso.

Otra manera de proceder: set $I_k=\int_0^{\pi/3}\sin^{2k}(x){\rm d}x$.

A continuación,$I_{k+1}-I_k=\int_0^{\pi/3}\sin^{2k}(x)\cos^2(x){\rm d}x=[\frac{1}{2k+1}\sin^{2k+1}(x)\cos(x)]_0^{\pi/3}+\frac{1}{2k+1}I_{2k+1}$.

Entonces, nos encontramos con un lineal de la recurrencia de la relación entre el$I_k$$I_{k+1}$, por lo que podemos calcular $I_0,\ldots,I_8$ y calcular el deseado integral.

Answer 2

No estoy seguro de que esta es una respuesta seria.

Si usted tiene un vistazo aquí (en la sección de Energía de reducción de fórmulas), verá que, si $n$ es incluso, $$\sin^n(x) = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{\big((n-2k)x\big)}$$

Esto significa que, para su caso, $32768$ veces el integrando es dada por $$-112028 \cos (2 x)+49024 \cos (4 x)-17844 \cos (6 x)+5228 \cos (8 x)-1180 \cos (10 x)+$$ $$192 \cos (12 x)-20 \cos (14 x)+\cos (16 x)+109395$$ líder, después de la integración, con el resultado que ya se da por TheSimpliFire $$\frac{8168160\pi-7559999\sqrt3}{7340032}$$