Si . Demostrar que:

Question

A continuación es cómo demostrarlo.

Caso 1: $a = 0$

1. $0^2
2. $0
3. Un positivo número de veces un número positivo siempre es positivo.
4. Es cierto.

Caso 2: $a > 0$

1. $a
2. $a^2
3. $a^2
4. $a^2
5. $0
6. Es cierto porque $a, x$ son números positivos.

¿Me preguntaba una) si mi prueba es correcto y b) si hay otra manera sencilla de probar esto?

Answer 1

Si ambos son positivos, entonces: $$a < b \implies \begin{cases} a^2 \leq ab \\ ab < b^2\end{cases} \implies a^2<b^2,$$, en donde utilizamos la transitividad en el último paso.

Answer 2

La prueba de caso para $a=0$ es correcta. Su caso, para la prueba de $a>0$ es incorrecta, porque en la segunda línea que asumir lo que usted está tratando de mostrar. Aquí es una manera de acabar con los casos.$$\begin{align} 0 \le a \lt b \implies b-a>0 \\ \implies (b-a)^2>0 \\ \implies b^2-2ab+a^2>0 \\ \implies 2ab<a^2+b^2 \\ \implies 2a(a)<a^2+b^2 \quad \text{by assumption that} \quad a<b \\ \implies 2a^2<a^2+b^2 \\ \implies a^2<b^2 \end{align}$$

Answer 3

Sugerencia: puede utilizar un enfoque de Cálculo.

Deje $f: [0,+\infty) \to \mathbb R $ definido por $f(x) = x^2$ y el aviso de que $f'(x) = 2x \geq 0$. La función de $f$ es no decreciente.

Answer 4

Si $a=0$, entonces es trivial ya que, a continuación, $b^2>0=a$

Suponga $0<a<b$, entonces:

$aa<ba<bb$.