Determinar si un sistema continuo $u:\mathbb{C}\to \mathbb{R}$ Satisfacer alguna propiedad es armónico

Question

Si $u : \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ satisface $$u(x + iy) =\frac{1}{4}[u(x + a + iy) + u(x a + iy) + u(x + i(y + a)) + u(x + i(y a))]\tag{$ * $}$$

para todos $a$ a continuación, determinar si $u$ es armónico, donde (a) $a\in \mathbb{R}$ , (b) $a\in \mathbb{C}$ .

Intento: $(*)$ es verdadera si $$u(x + a + iy) + u(x a + iy) + u(x + i(y + a)) + u(x + i(y a))-4u(x+iy)=0\\ $$ En la última ecuación tenemos cuatro términos $u(x\pm a+iy)-u(x+iy),u(x+i(y\pm a)-u(x+iy)$ por lo que para $a\not=0$ dividimos por $a$ y tomar el límite como $a\to 0$ para obtener $$2u_x+2u_y=0\tag{$ ** $}$$ No estoy seguro de qué hacer en este momento. Tomar más derivadas parciales no me lleva más lejos. ¿Hay una manera más agradable de ir sobre esto? No creo que esta técnica se aplica si $a\in \mathbb{C}$ .

Answer 1

Cualquier función lineal real $\phi(x,y):=px+qy$ satisface trivialmente $(*)$ . Por lo tanto, es imposible deducir $(**)$ .

Si asume $u\in C^2$ para empezar, entonces se puede argumentar de la siguiente manera (trataré el caso $a\in{\Bbb R}$ que es suficiente): Para $(x,y)$ se tiene $$u(x+a,y)-u(x,y)=u_x(x,y) a+{1\over2}u_{xx}(x,y)a^2 +o(a^2)\qquad(a\to0)$$ y tres ecuaciones más de este tipo. Sumando estas cuatro ecuaciones obtenemos, utilizando $(*)$ : $$\eqalign{0&=\bigl(u(x+a,y)+u(x,y+a)+u(x-a,y)+u(x,y-a)\bigr)-4u(x,y)\cr &=\bigl(u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)\bigr) a^2+o(a^2)\qquad(a\to0)\ .\cr}$$ Esto implica $$\Delta u(x,y)=0\ ,$$ y como $(x,y)$ era arbitraria se deduce que $u$ es armónico.