Mostrar $\lim_{n \to +\infty} \log(n!)/(n\log n) = 1$ sin utilizar la aproximación de Stirling

Question

Como paso de un límite mayor tengo que demostrar que $$ \lim_{ n \to \infty } \frac{\log(n!)}{n\log(n)} = 1. $$ Creo que se podría hacer usando la aproximación de Stirling, pero me pregunto si hay una manera sin esa fórmula.

Answer 1

Si tenemos $f(x) > 0$ y $f'(x) > 0,$ entonces $$ \int_{a-1}^{b} \; f(x) \; dx \; < \; \sum_{j=a}^b \; f(j) \; < \; \int_{a}^{b+1} \; f(x) \; dx $$

$a=2; b= n ; f: log(n!)$ $$ \int_{1}^{n} \; \log x \; dx \; < \; \log n! \; = \; \sum_{j=2}^n \; \log j \; < \; \int_{2}^{n+1} \; \log x \; dx $$ Una antiderivada de $\log x$ es $x \log x - x$

$$ 1 - \frac{n-1}{n \log n} < \frac{\log n!}{n \log n} < \frac{(n+1) \log (n+1)}{n \log n} - \frac{n + 2 \log 2 -1}{n \log n} $$ Algunos términos evidentemente van a cero con el aumento de $n.$

$$ \frac{(n+1) \log (n+1)}{n \log n} = \frac{(n+1) }{n } \frac{ \log (n+1)}{ \log n} $$ va a $1$