Mostrar $\lim_{n \to +\infty} \log(n!)/(n\log n) = 1$ sin utilizar la aproximación de Stirling

Question

Como paso de un límite mayor tengo que demostrar que $$ \lim_{ n \to \infty } \frac{\log(n!)}{n\log(n)} = 1. $$ Creo que se podría hacer usando la aproximación de Stirling, pero me pregunto si hay una manera sin esa fórmula.

Answer 1

Calculamos $$ \lim_{n\to\infty} \frac{ \log( (n+1)! ) - \log (n!) }{ (n+1)\log(n+1) - n\log n} = \lim_{n\to\infty} \frac{ \log (n+1) }{ \log (n+ \theta_n)+1}=1$$

donde $\theta_n \in (0,1)$ se obtiene del Teorema del Valor Medio. Se deduce de la Stolz-Cesàro teorema de que el límite en cuestión también es igual a $1.$

Answer 2

Con una prueba integral de convergencia: $\displaystyle \int_1^n \log(x)dx \leq \sum\limits_{k=2}^n \log(k) = \log(n!) \leq \int_2^{n+1} \log(x)dx$ .

Puedes deducir el resultado más fuerte: $\log(n!)=n\log(n)-n + o(n)$ .

Answer 3

Tenemos $$\log n!=\sum_{j=1}^n\log\frac jn+n\log n,$$ por lo que tenemos que demostrar que $\frac 1{n\log n}\sum_{j=1}^n\log\frac jn\to 0.$ Utilizamos la desigualdad $\log(1+t)\geq t-t^2/2$ para $t\geq -1$ , para conseguir $$0\geq \frac 1{n\log n}\sum_{j=1}^n\log\frac jn\geq \frac 1{n\log n}\sum_{j=1}^n\left(\frac jn-1\right)-\frac 1{2n\log n}\sum_{j=1}^n\left(\frac{j}{n}-1\right)^2.$$ Tenemos en el RHS $\frac 1{\log n}$ por una suma de Riemann (asociada a $t\mapsto t-1-\left(t-1\right)^2/2$ ), por lo que $\frac 1{\log n}$ por un término acotado, lo que da el resultado.

Answer 4

Esto puede hacerse con muy poca tecnología. Tenga en cuenta que $$\log n! = \sum_{i=1}^n \log i \le \sum_{i=1}^n \log n = n \log n$$

por lo que basta con demostrar que $\log n!$ es finalmente mayor que $cn \log n$ para cada constante $c < 1$ . Pero para cada constante positiva $k$ tenemos $$\log n! = \sum_{i=1}^n \log i \ge \sum_{i=\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}^n \log \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor \approx \left( 1 - \frac{1}{k} \right) n \left( \log n - \log k \right)$$

y tomando $k \to \infty$ la conclusión es la siguiente.

Answer 5

Utilizando $$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$ tenemos $$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$

Prueba:

Para el lado izquierdo el primer paso de la inducción es claro. Entonces

$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) =$$ $$=\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$

porque $(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$ es equivalente $\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$ .

Para el lado derecho

$$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = $$ $$=e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$