Cuál de estas definiciones de límites $\varepsilon$$\delta$son

Question

hola he estado tratando de entender cómo $\varepsilon$-$\delta$ definición se utiliza para demostrar los límites, pero no lo entiendo todavía.

En el libro [Ron Larson, Bruce H. Edwards-Calculus_ Principios Trascendentales Funciones-Brooks Cole (2014)] dice lo siguiente:

Así que me he desarrollar mi propia cuenta, y no sé si la razón, y por eso necesito su ayuda, así que aquí vamos:

$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 2}}\;(3x-2)=4$

Deje $\varepsilon>0$$\delta>0$, luego

$0<|x-2|< \delta \implies |3x-2-4|<\varepsilon$

Encontrar un valor de $\delta$:

$|3x-2-4|<\varepsilon$

$\implies -\varepsilon<3x-2-4<\varepsilon$

$\implies -\varepsilon<3x-6<\varepsilon$

$\implies -\varepsilon<3(x-2)<\varepsilon$

$\implies -\dfrac{\varepsilon}{3}<x-2<\dfrac{\varepsilon}{3}$

$\implies |x-2|<\dfrac{\varepsilon}{3}$

Elija $\delta=\dfrac{\varepsilon}{3},$ prueba de que $\delta$ obras:

$|x-2|<\dfrac{\varepsilon}{3}$

$\implies -\dfrac{\varepsilon}{3}<x-2<\dfrac{\varepsilon}{3}$

$\implies -\varepsilon<3(x-2)<\varepsilon$

$\implies -\varepsilon<3x-6<\varepsilon$

$\implies -\varepsilon<3x-2-4<\varepsilon$

$\implies |3x-2-4|<\varepsilon$

Creo que en el libro lo que están tratando de decir es que:

Si $|x-2|<\dfrac{\varepsilon}{3}$, luego

$0<|3x-2-4|<\delta$

$0<|3x-6|<\delta$

$0<|3(x-2)|<\delta$

$0<3|x-2|<\delta$

$0<3\dfrac{\varepsilon}{3}<\delta$

$0<\varepsilon<\delta$

Answer 1

En cualquier caso, intenta hacer un croquis! La idea detrás de la $\epsilon-\delta$ definición de los límites es que como $x$ aproxima $x_0$ $f(x)$ aproxima $l$. Para hacerlo más "matemática" uno dice:

Independientemente de lo cerca que se exige para ser a $l$, puede restringir $x$ suficientemente cerca de a $x_0$ a fin de asegurar que $f(x)$ está tan cerca como lo exigían.

Por lo tanto, vamos a $f$ ser una función arbitraria $f$:

Y también, que los $\epsilon>0$. Así que, cuando elegimos $\epsilon$, $\epsilon-$estanca carril alrededor de $l$ es creado, de la siguiente manera:

Observa los dos puntos de $A,B$, lo que define una parte de la curva de $f$ que permanece en el interior de este carril. A continuación se nos pide encontrar una $\delta>0$ tal que cuando se $x$ está dentro de un $\delta-$estanca carril alrededor de $x_0$, entonces la curva de $f$ "cae" dentro del rectángulo definido por los dos carriles. Así, debemos elegir un carril en torno a $x_0$ que es el "interior" ($\subseteq$) el carril que $A,B$ definir. Para visualizar esto,

debemos elegir cualquier carril alrededor de $x_0$ que está dentro de la vertical de los carriles de la anterior forma.

Así que, en general, usted debe tener en cuenta que el $\epsilon-\delta$ definiciones son más como un juego:

Usted se da un $\epsilon>0$ - así que, esto no se puede cambiar, esta es fija, no se puede modificar - y se le solicita a encontrar una $\delta>0$ - esto puede ser lo que quieras, pero esto no se da; usted tiene que encontrar y, en general, no será cada $\delta>0$, pero algo más específicos, tales que: $$|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-l|<\epsilon$$

Espero que esto ayudó! :)

Answer 2

La primera secuencia de %#% de #% debe ser una secuencia de $\implies$'s. Thereby, resultaría that$\iff$$$|x-2|

Answer 3

El problema es cuando dice: que $\varepsilon>0$ y $\delta>0$ y $$|x-2|

En primer lugar, no puede fijar $\delta>0$ y en segundo lugar, ha mal que todos $\varepsilon>0$ y todos los $\delta>0$, $$|x-2|

---

Así que $\varepsilon>0$. Comente que $$|3x-2-4|=3|x-2|.$ $ por lo tanto, si usted toma $\delta\leq \frac{\varepsilon}{3}$ (como veis, $\delta$ no se especifica y depende del $\varepsilon$!), entonces $$|x-2|

Answer 4

<blockquote> <p>Que $\varepsilon>0$ y $\delta>0$ y $0<|x-2|< \delta \implies |3x-2-4|<\varepsilon$</p> </blockquote> <p>Esta declaración es incorrecta como $\delta$ no se da. Usted necesita encontrar a $\delta>0$ tal que $$ 0 < | x-2 | < \delta \implies | 3 x-2-4 | < \varepsilon. $$ En su lugar, simplemente comience su prueba con: que $\varepsilon>0$.</p> <p>A continuación, el trabajo cero encontrar $\delta$ no tiene en la prueba. Saltar en su lugar a</p> <blockquote> <p>Elegir $\delta=\dfrac{\varepsilon}{3}$</p> </blockquote> <p>y continuar por con este $\delta$ obras.</p>