Para $(2)\Rightarrow(3)$: primero Vamos a mostrar que la continuidad de los puntos de cualquier Riemann integrable función es denso en $[a,b]$. Supongamos que este no es el caso.
Definir la oscilación de $f$ a un punto de $x$$\omega_f(x)=\inf\left\{\operatorname{diam}f(U):U\text{ open}, x\in U\right\}$, e $O_\epsilon=\left\{x\in[c,d]:\omega_f(x)<\epsilon\right\}$. Tenga en cuenta que $O_\epsilon$ está abierto, y que el conjunto de puntos de continuidad de $f$ ( $[c,d]$ )$\bigcap_mO_{1/m}$, lo que estamos suponiendo que no densa. Por Baire teorema de, al menos, una de las $O_{1/m}$ no es denso en $[a,b]$, por lo que hay un intervalo de $[e,f]$ que no se cruzan $O_{1/m}$.
Ahora podemos señalar los siguientes: si $y$ es cualquier punto en $[e,f]$, e $I$ es cualquier intervalo que contenga $y$ en su interior, $\operatorname{diam}f(I)\geq 1/m$, debido a $\omega_f(y)\geq 1/m$ y por la definición de la oscilación.
Deje $P$ ser una partición de $[a,b]$ que es lo suficientemente fina, en el sentido de que $[c,d]$ es una unión de elementos de $P$. El nombre de estos elementos $I_1,\ldots,I_n$. Cada una de las $I_i$ contiene un punto de $[e,f]$ en su interior, por lo que la diferencia de la parte superior e inferior de las sumas de Riemann para $P$ es
$$\sum_{I\in P}\operatorname{diam}(f(I))\cdot\operatorname{length}(I)\geq\sum_{i=1}^n\frac{1}{m}\operatorname{length}(I_i)=\frac{f-e}{m}$$
de modo que la diferencia entre la parte superior e inferior de las sumas de Riemann está delimitado a continuación, en contradicción de integrabilidad de Riemann de $f$. Llegamos a la conclusión de que el conjunto de puntos de continuidad de $f$ es densa.
Ahora supongamos que el interior de $X$ no estaba vacía. A continuación, $X$ contendría una continuidad punto de $x$, que podría satisfacer $f(x)\neq 0$, contradiciendo (2).
