¿Son rango de T y T ^ * igual?

Question

Dejado H sea un espacio de Hilbert infinito dimensional y $T:H\longrightarrow H$ ser un operador en H.Is cierto que $rank T=rank T^$. Sabemos que esto es cierto de dimensión finita. ¿Es cierto para el espacio de Hilbert infinito dimensional o hay algún ejemplo de T y T ^ que su rango son diferentes?

Gracias

Answer 1

Supongamos que el delimitada lineal operador $T: H \to H$ es un rango finito operador de rango $n$. Podemos escribir $T$ en forma $$ T(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i ( x, u_i) v_i, $$ donde $u_i$ $v_i$ son vectores de norma 1 en $H$ $\alpha_i \in \mathbb C$ (o $\mathbb R$ si usted está trabajando con un real espacio de Hilbert). Para más detalles sobre este punto, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Finite-rank_operator.

Pero entonces, hemos $$ T^*(x)= \sum_{i=1}^n \overline \alpha_i (x, v_i) u_i, $$ y por lo $T^*$ es también finito de rango y rango en la mayoría de las $n$. Como cada representación para $T$ conduce a una relacionada con la representación de $T^*$ y viceversa, las dos filas debe ser en realidad la misma.

Un argumento similar muestra también que si $T$ es de infinito valor, entonces también lo es $T^*$. Supongamos $T$ tenían infinito rango, pero $T^*$ tenía rango finito. A continuación, $T^*$ tendría una representación como la de arriba, que conduce a $(T^*)^*$ siendo de rango finito. Pero $T^{**}=T$, que está destinado a ser de rango infinito, una contradicción.

Answer 2

El operador $Tv \mapsto T^*v$ es realmente un isometry parcial. El cierre de las gamas son Murray-von Neumann equivalente.