Demuestra que $l^2$ es el único $l^p$ espacio cuya norma es inducida por el producto interior

Question

Quiero utilizar el teorema de Jordan y von Neumann que dice que la norma es inducida por el producto interior si y sólo si la ley del paralelogramo es verdadera

Dejemos que $\Vert x \Vert_p$ ser la norma en $l^p, 1\le p < \infty$ . En la ley del paralelogramo tenemos,

$\Vert x+y \Vert_p^2 + \Vert x-y \Vert_p^2 = 2\Vert x \Vert_p^2 + 2\Vert y \Vert_p^2$

lo que equivale a

$(\sum|x_i+y_i|^p)^{(2/p)} + (\sum|x_i-y_i|^p)^{(2/p)} = 2(\sum|x_i|^p)^{(2/p)} +2(\sum|y_i|^p)^{(2/p)}$ .

Pero ahora cómo podemos conseguir que $p=2$ ¿es la única correcta? ¿Es posible construir una secuencia para la cual el paralelogramo falla para cada $p$ ¿diferente a la 2?

Answer 1

Elija $x=(1,0,0,...), y=(0,1,0,...)$ . Tenemos $\|x+y\|_p^{2}+\|x-y\|_p^{2}=2 \cdot2^{2/p}$ y $2\|x\|_p^{2/p}+2\|x\|_p^{2/p}=2 + 2 =4$ . De la igualdad del paralelogramo obtenemos $2^{2/p}=2$ y luego $p=2$ .