Un grupo con 3 subgrupos. demostrar que es cíclico

Question

Sea G un grupo con exactamente tres subgrupos. Demostrar que G es cíclico.

Así que conozco 2 de los subgrupos: e (la identidad) y G. Y {e} y G son distintos. Mi primer pensamiento es mostrar que G tiene un generador y que es tanto e como G ¿correcto? No estoy seguro de qué/cómo encontrar el tercer subgrupo y qué hacer después.

Esto es lo que tengo hasta ahora:

PRUEBA: Sea G un grupo con exactamente tres subgrupos. Entonces, por definición, {e} es un subgrupo de G y un generador de G. Además, G es un subgrupo de G y también es un generador.

Answer 1

Dejemos que $H$ sea el tercer subgrupo, por lo que por suposición $\{e\}\ne H\ne G$ . Entonces existe $x\in G\setminus H$ . Entonces $\langle x\rangle$ debe ser uno de $\{e\}, H, G$ y ciertamente no es ninguna de las dos primeras. (El argumento se puede generalizar como sigue: Un grupo con un subgrupo propio que contiene a todos los subgrupos propios es cíclico)

Answer 2

Estás utilizando el término generador de forma demasiado imprecisa. El término generador significa que si $g$ genera un subgrupo $H$ entonces $H = \{g^n:n\in\Bbb Z\}$ . $H$ se denota entonces $\langle g\rangle$ .

En cuanto al problema que nos ocupa: supongamos que $g\neq e\in G$ . ¿Qué puede decir sobre $\langle g\rangle$ ? ¿Puede haber algún elemento no en $\langle g\rangle$ ?

Answer 3

Como G sólo tiene tres subgrupos, H sólo tiene dos - $\lbrace e\rbrace$ y a sí mismo (de lo contrario tendríamos un cuarto subgrupo en G). Entonces H es cíclico, es decir $H=\langle h\rangle$ para algunos $h \in H$ . Sin embargo, lo más importante es considerar $g \in G$ no en H, y considerar $\langle g \rangle$ . Desde $g \not\in H$ tenemos $\langle g \rangle \neq H$ . ¿Qué otra cosa podría $\langle g \rangle$ ¿entonces?

Como apunte, para aclarar qué es un generador, recordemos que definimos un generador como un elemento $g$ del grupo tal que cada elemento del grupo es un múltiplo del mismo, es decir $\forall x \in G, x = g^k$ para algunos $k \in \mathbb Z$ . Así que $e$ no puede ser un generador, ya que el único múltiplo de $e$ es $e$ mismo. De la misma manera, $G$ no puede ser un generador, ya que ser un generador es algo que definimos para elementos no conjuntos.