Encontrar $\beta$ $u_x(0)=\beta$ Dónde está un valor límite de una ecuación de calor

Question

Supongamos que un núcleo de hielo están perfectamente aisladas y se calienta en un extremo a una tasa $\alpha$ y se enfría desde el otro extremo a una tasa $\beta$. Considere el siguiente problema de valor de frontera $$u_t-u_{xx}=0, \ u_x(0)=\beta, \ u_x(l)=\alpha,$$ where $u$ is temperature, $t$ is time and $$ l es la longitud del núcleo.

Lo que debe $\beta$ ser tal que los núcleos de hielo de la temperatura se mantiene estable ($u_t=0$)?

Mi intento:

Si $u_t=0$, entonces esto implica $u_{xx}=0$. si integramos ambos lados con respecto a $x$, obtenemos $$u_x=A$$ para algunos $A\in\mathbb{R}$. Así, $$u_x(0)=\beta\implies A=\beta,\\u_x(l)=\alpha\implies A=\alpha.$$ Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $\beta=\alpha\in\mathbb{R}$.

Para la parte (b), suponiendo $\alpha=1, l=10$ y el promedio de la temperatura del núcleo es $-15$, ¿cuál es la solución para $u$ en el establo caso.

Por último, Si el enfriamiento mecanismo de falla ($\beta=0$) ¿cuánto tiempo se tarda antes de que el núcleo de hielo empezó a derretirse (es decir, cuando se $u$ elevarse por encima de $0$ en cualquier punto)?

Answer 1

$\def\d{\mathrm{d}}\def\peq{\mathrm{\phantom{=}}{}}$Para la primera pregunta, su solución hasta el momento es el correcto, pero sería mejor para completar a través de una verificación adicional.

Si $β = α$, a continuación, $u(x, t) = αx + c$, donde $c$ es una constante, son soluciones y la unicidad de soluciones para la PDE de que el segundo tipo de condición de contorno (hasta un constante) implica que estas son todas las soluciones. Es fácil comprobar que $u_t = 0$.

Para la segunda pregunta, ya que el $u(x, t) = x + c$ y la temperatura promedio es de$$ -15 = \frac{1}{l} \int_0^l u(x, t) \,\d x = \frac{1}{10} \int_0^{10} (x + c) \,\d x = c + 5, $$ a continuación, $c = -20$ e $u(x, t) = x - 20$.

A la tercera pregunta, supongamos $u(x, t) = v(x, t) + \dfrac{αx^2}{2l}$, por lo tanto$$ \begin{cases} v_t - v_{xx} = \dfrac{α}{l}\\ v(x, 0) = -\dfrac{αx^2}{2l} + αx + c\\ v_x(0) = v_x(l) = 0 \end{casos}. \etiqueta{1} $$ Usando separación de variables, conectar $v(x, t) = X(x) T(t)$ rendimientos$$ \begin{cases} \dfrac{X''}{X} = \dfrac{T'}{T} = -λ\\ X'(0) = X'(l) = 0 \end{casos}. $$ Para $λ = 0$, $X_0(x) = 1$. Para $λ > 0$,$$ \begin{cases} X'' + λX = 0\\ X'(0) = X'(l) = 0 \end{casos} \Longrightarrow \begin{cases} λ_k = \dfrac{k^2 π^2}{l^2}\\ X_k(x) = \cos(\sqrt{λ_k} x) \end{casos}. $$ Por lo tanto la solución de (1) puede ser escrita como$$ v(x, t) = \sum_{k = 0}^∞ X_k(x) T_k(t). $$ Porque\begin{gather*} \frac{α}{l} = \sum_{k = 0}^∞ \frac{\displaystyle \int_0^l \frac{α}{l} · X_k(x) \,\d x}{\displaystyle \int_0^l X_k^2(x) \,\d x} X_k(x) = \frac{α}{l} X_0(x), \quad c = cX_0(x),\\ x = \sum_{k = 0}^∞ \frac{\displaystyle \int_0^l x · X_k(x) \,\d x}{\displaystyle \int_0^l X_k^2(x) \,\d x} X_k(x) = \frac{l}{2} X_0(x) + \sum_{k = 1}^∞ \frac{2l}{k^2 π^2} ((-1)^k - 1) X_k(x),\\ x^2 = \sum_{k = 0}^∞ \frac{\displaystyle \int_0^l x · X_k(x) \,\d x}{\displaystyle \int_0^l X_k^2(x) \,\d x} X_k(x) = \frac{l^2}{3} X_0(x) + \sum_{k = 1}^∞ \frac{4l^2}{k^2 π^2} (-1)^k X_k(x), \end{reunir*}\begin{align*} v_t - v_{xx} &= \sum_{k = 0}^∞ c_k X_k(x) T_k'(t) - \sum_{k = 0}^∞ X_k''(x) T_k(t)\\ &= \sum_{k = 0}^∞ X_k(x) T_k'(t) - \sum_{k = 0}^∞ (-λ_k X_k(x)) T_k(t)\\ &= \sum_{k = 0}^∞ X_k(x) (T_k'(t) + λ_k T_k(t)), \end{align*} a continuación, la comparación de los coeficientes de $X_k$'s de los rendimientos$$ \begin{cases} T_0'(t) = \dfrac{α}{l}\\ T_0(0) = \dfrac{1}{3} αl + c \end{casos}, \quad \begin{cases} T_k'(t) + λ_k T_k(t) = 0\\ T_k(0) = -\dfrac{2αl}{k^2 π^2} \end{casos}\ (k \geqslant 1), $$ lo que implica$$ T_0(t) = \frac{a}{l} + \frac{1}{3} al a + c, \quad T_k(t) = -\frac{2al}{k^2 π^2} \exp(-λ_k t)\ (k \geqslant 1). $$ Por lo tanto,\begin{align*} &\peq u(x, t) = v(x, t) + \frac{αx^2}{2l}\\ &= \frac{αx^2}{2l} + \frac{αt}{l} + \frac{1}{3} αl + c - \sum_{k = 1}^∞ \frac{2αl}{k^2 π^2} \cos\left( \frac{kπx}{l} \right) \exp\left( -\frac{k^2 π^2 t}{l^2} \right). \end{align*}

$u(x, t)$ se representa a continuación.